Probabilidades en accidentes de tráfico

**a) Calcular la probabilidad de que uno de estos accidentes no tenga resultado nefasto.** En primer lugar, definimos los sucesos que intervienen en el problema para organizar la información: * $A$: La causa del accidente es la ingesta excesiva de alcohol. * $I$: La causa del accidente es la imprudencia del conductor. * $O$: La causa del accidente son otras causas. * $N$: El resultado del accidente es nefasto. * $\bar{N}$: El resultado del accidente **no** es nefasto (suceso contrario). Datos del enunciado: $P(A) = 0.65$ $P(I) = 0.25$ $P(O) = 1 - (0.65 + 0.25) = 0.10$ Probabilidades condicionadas (nefasto): $P(N|A) = 0.30 \implies P(\bar{N}|A) = 0.70$ $P(N|I) = 0.20 \implies P(\bar{N}|I) = 0.80$ $P(N|O) = 0.05 \implies P(\bar{N}|O) = 0.95$ Representamos estos datos en un diagrama de árbol: 💡 **Tip:** Recuerda que en cada nodo del árbol, la suma de las probabilidades de las ramas que parten de él debe ser siempre 1.

Para calcular la probabilidad de que un accidente no tenga resultado nefasto, $P(\bar{N})$, aplicamos el **Teorema de la Probabilidad Total**. Este suceso puede ocurrir a través de tres caminos distintos en el árbol (alcohol, imprudencia u otras causas): $$P(\bar{N}) = P(A) \cdot P(\bar{N}|A) + P(I) \cdot P(\bar{N}|I) + P(O) \cdot P(\bar{N}|O)$$ Sustituimos los valores numéricos: $$P(\bar{N}) = (0.65 \cdot 0.70) + (0.25 \cdot 0.80) + (0.10 \cdot 0.95)$$ Calculamos cada término: * $0.65 \cdot 0.70 = 0.455$ * $0.25 \cdot 0.80 = 0.2$ * $0.10 \cdot 0.95 = 0.095$ Sumamos los resultados: $$P(\bar{N}) = 0.455 + 0.2 + 0.095 = 0.75$$ 💡 **Tip:** El Teorema de la Probabilidad Total se usa cuando queremos calcular la probabilidad de un suceso final que depende de varios sucesos iniciales o causas. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\bar{N}) = 0.75}$$ La probabilidad de que un accidente no sea nefasto es del **75%**.

**b) Si se produce un accidente sin resultado nefasto, calcular la probabilidad de que la causa de dicho accidente sea la ingesta excesiva de alcohol.** Nos piden la probabilidad de que la causa sea el alcohol ($A$) dado que sabemos que el accidente no fue nefasto ($\bar{N}$). Esto es una probabilidad a posteriori, por lo que aplicamos el **Teorema de Bayes**: $$P(A|\bar{N}) = \frac{P(A \cap \bar{N})}{P(\bar{N})} = \frac{P(A) \cdot P(\bar{N}|A)}{P(\bar{N})}$$ Ya conocemos todos los valores necesarios: * $P(A) \cdot P(\bar{N}|A) = 0.65 \cdot 0.70 = 0.455$ * $P(\bar{N}) = 0.75$ (calculado en el apartado anterior) Sustituimos en la fórmula: $$P(A|\bar{N}) = \frac{0.455}{0.75}$$ $$P(A|\bar{N}) \approx 0.6067$$ 💡 **Tip:** El Teorema de Bayes permite "recorrer el árbol hacia atrás", calculando la probabilidad de una causa una vez conocido el efecto final. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(A|\bar{N}) = \frac{0.455}{0.75} \approx 0.6067}$$ Si el accidente no es nefasto, hay una probabilidad aproximada del **60.67%** de que se debiera al alcohol.