Crecimiento exponencial de una inversión

**a) Demostrar razonadamente que la función es creciente.** Para demostrar que una función es creciente, debemos estudiar el signo de su primera derivada. Si $C'(t) > 0$ para todo $t$ en su dominio, entonces la función es estrictamente creciente. La función es de tipo exponencial: $C(t) = 3000 \cdot (1.2)^t$. Calculamos su derivada respecto al tiempo $t$: $$C'(t) = 3000 \cdot (1.2)^t \cdot \ln(1.2)$$ Analizamos los factores de la derivada: 1. El coeficiente $3000$ es un número positivo. 2. La función exponencial $(1.2)^t$ siempre es positiva para cualquier valor de $t \in \mathbb{R}$. 3. El logaritmo natural $\ln(1.2) \approx 0.18232$, que es un valor positivo (ya que $1.2 > 1$). Al ser el producto de tres términos positivos, tenemos que: $$C'(t) > 0 \quad \text{para todo } t \ge 0$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la derivada de una función $a^x$ es $a^x \cdot \ln(a)$. Si la base $a > 1$, el logaritmo es positivo y la función crece; si $0 < a < 1$, el logaritmo es negativo y la función decrece. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Como } C'(t) > 0, \text{ la función } C(t) \text{ es creciente para todo } t \ge 0.}$$

**b) ¿Cuánto dinero habrá a comienzos de 2020? ¿Y cuando el recién nacido cumpla 18 años?** Primero, definimos el tiempo $t$ para cada caso, sabiendo que $t=0$ corresponde al año 2010: 1. **Comienzos de 2020:** Han transcurrido $2020 - 2010 = 10$ años. Por tanto, $t = 10$. 2. **Al cumplir 18 años:** Han transcurrido $18$ años desde su nacimiento. Por tanto, $t = 18$. Sustituimos en la función original $C(t) = 3000(1.2)^t$: **Para $t = 10$:** $$C(10) = 3000 \cdot (1.2)^{10} \approx 3000 \cdot 6.191736 = 18575.21$$ **Para $t = 18$:** $$C(18) = 3000 \cdot (1.2)^{18} \approx 3000 \cdot 26.62333 = 79870.00$$ 💡 **Tip:** Ten cuidado al usar la calculadora con las potencias. Es recomendable realizar el cálculo del paréntesis elevado al exponente primero y luego multiplicar por el capital inicial. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{En 2020 habrá } 18575.21 \text{ € y a los 18 años habrá } 79870.00 \text{ €}}$$

**c) ¿Cuántos años hay que dejar el dinero invertido para que se convierta en 6000 euros?** Buscamos el valor de $t$ tal que el capital final $C(t)$ sea igual a $6000$: $$6000 = 3000(1.2)^t$$ Dividimos ambos miembros por $3000$ para simplificar la ecuación: $$\frac{6000}{3000} = (1.2)^t \implies 2 = (1.2)^t$$ Para despejar la incógnita $t$ que se encuentra en el exponente, aplicamos logaritmos (naturales o decimales) en ambos lados: $$\ln(2) = \ln((1.2)^t)$$ Utilizando la propiedad de los logaritmos $\ln(a^b) = b \cdot \ln(a)$: $$\ln(2) = t \cdot \ln(1.2)$$ Despejamos $t$: $$t = \frac{\ln(2)}{\ln(1.2)} \approx \frac{0.693147}{0.182322} \approx 3.8017$$ El capital se convertirá en $6000$ euros aproximadamente a los **3.8 años** de la inversión. 💡 **Tip:** Para resolver ecuaciones exponenciales donde las bases no se pueden igualar fácilmente, el uso de logaritmos es la herramienta estándar. ✅ **Resultado:** $$\boxed{t \approx 3.8 \text{ años}}$$