Problema de sistemas de ecuaciones: Reparto de vehículos

**a) Plantear el correspondiente sistema de ecuaciones.** Primero, definimos las variables que representan las incógnitas del problema: - $x$: número de coches. - $y$: número de camiones. - $z$: número de motos. Ahora, traducimos las condiciones del enunciado a ecuaciones matemáticas: 1. **Total de vehículos**: El total es 400. $$x + y + z = 400$$ 2. **Relación entre motos y camiones**: "Por cada dos motos hay cinco camiones". Esto significa que la proporción entre motos ($z$) y camiones ($y$) es de $2$ a $5$: $$\frac{z}{y} = \frac{2}{5} \implies 5z = 2y \implies 2y - 5z = 0$$ 3. **Relación de coches con el resto**: "Los coches representan las $9/7$ partes de los otros vehículos (camiones y motos)": $$x = \frac{9}{7}(y + z) \implies 7x = 9(y + z) \implies 7x - 9y - 9z = 0$$ 💡 **Tip:** Al plantear proporciones como "por cada $A$ de tipo $1$ hay $B$ de tipo $2$", la ecuación se escribe como $\frac{\text{Tipo 1}}{\text{Tipo 2}} = \frac{A}{B}$. El sistema planteado es: $$\boxed{\begin{cases} x + y + z = 400 \\ 2y - 5z = 0 \\ 7x - 9y - 9z = 0 \end{cases}}$$

**b) ¿Cuántos vehículos de cada tipo transporta el barco?** Vamos a resolver el sistema. Una forma eficiente es utilizar la tercera ecuación simplificada en la primera. De la relación $x = \frac{9}{7}(y + z)$, podemos deducir que $y + z = \frac{7}{9}x$. Sustituimos $(y + z)$ en la primera ecuación ($x + y + z = 400$): $$x + \frac{7}{9}x = 400$$ $$\frac{9x + 7x}{9} = 400 \implies \frac{16x}{9} = 400$$ $$16x = 3600 \implies x = \frac{3600}{16} = 225$$ Ya sabemos que hay **225 coches**. 💡 **Tip:** Agrupar variables relacionadas (como $y+z$) puede simplificar mucho los cálculos en problemas de mezclas o repartos.

Ahora que sabemos $x = 225$, volvemos a las otras ecuaciones para hallar $y$ y $z$. Sabemos que: $$y + z = 400 - x = 400 - 225 = 175$$ Y de la segunda ecuación del sistema original: $$2y - 5z = 0 \implies y = \frac{5z}{2}$$ Sustituimos $y$ en la ecuación $y + z = 175$: $$\frac{5z}{2} + z = 175$$ $$\frac{5z + 2z}{2} = 175 \implies \frac{7z}{2} = 175$$ $$7z = 350 \implies z = \frac{350}{7} = 50$$ Finalmente, calculamos $y$: $$y = 175 - z = 175 - 50 = 125$$ 💡 **Tip:** Siempre es bueno comprobar que los resultados son números enteros y positivos, ya que hablamos de objetos físicos (vehículos).

Comprobamos que los resultados cumplen todas las condiciones: - Total: $225 + 125 + 50 = 400$. (Correcto) - Proporción motos/camiones: $50/125 = 2/5$. (Correcto) - Coches vs otros: $225 = \frac{9}{7}(125 + 50) = \frac{9}{7}(175) = 9 \cdot 25 = 225$. (Correcto) ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Hay 225 coches, 125 camiones y 50 motos.}}$$