Contraste de hipótesis para la proporción de puntualidad

**a) Con un nivel de significación del 5% ¿se puede aceptar la afirmación dada por la compañía?** Primero, definimos las hipótesis del contraste. La compañía afirma que la proporción $p$ de vuelos puntuales es **al menos** del $60\%$. Esto significa que la hipótesis nula ($H_0$) incluye el signo de igualdad o superioridad, y la alternativa ($H_1$) lo que queremos refutar: - Hipótesis nula: $H_0: p \ge 0.60$ - Hipótesis alternativa: $H_1: p \lt 0.60$ Se trata de un **contraste unilateral a la izquierda**, ya que la sospecha es que la proporción real sea menor que la afirmada. Datos del problema: - Proporción poblacional bajo $H_0$: $p_0 = 0.60$ - Tamaño de la muestra: $n = 200$ - Nivel de significación: $\alpha = 0.05$ 💡 **Tip:** En los contrastes de hipótesis, la hipótesis nula $H_0$ suele ser la afirmación de "mantenimiento del status quo" o la que contiene la igualdad.

Calculamos la proporción observada en la muestra (proporción muestral $\hat{p}$): $$\hat{p} = \frac{106}{200} = 0.53$$ Ahora calculamos el valor del estadístico de contraste $Z$, que sigue una distribución normal estándar $N(0, 1)$ si se cumple $H_0$: $$Z = \frac{\hat{p} - p_0}{\sqrt{\dfrac{p_0(1-p_0)}{n}}}$$ Sustituimos los valores: $$Z = \frac{0.53 - 0.60}{\sqrt{\dfrac{0.60 \cdot 0.40}{200}}} = \frac{-0.07}{\sqrt{0.0012}} = \frac{-0.07}{0.03464} \approx -2.02$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para aplicar la aproximación normal en proporciones, se deben cumplir las condiciones $n p_0 \ge 5$ y $n(1-p_0) \ge 5$. En este caso: $200 \cdot 0.6 = 120$ y $200 \cdot 0.4 = 80$, ambas se cumplen.

Para un nivel de significación $\alpha = 0.05$ en un contraste unilateral a la izquierda, buscamos el valor crítico $-z_{\alpha}$ tal que $P(Z \lt -z_{\alpha}) = 0.05$. Consultando la tabla de la normal estándar: $$z_{0.05} = 1.645 \implies \text{Punto crítico: } -1.645$$ **Región de rechazo:** $(-\infty, -1.645]$ **Región de aceptación:** $(-1.645, +\infty)$ Como el valor obtenido $Z = -2.02$ es **menor** que $-1.645$ (cae en la región de rechazo): $$\boxed{\text{Se rechaza } H_0. \text{ No se puede aceptar la afirmación de la compañía con un 5\% de significación.}}$$

**b) Si sólo se hubiesen observado 100 vuelos, de los cuales 53 llegaron a la hora prevista, tomando un nivel de significación del 5%, ¿se puede aceptar la afirmación dada por la compañía?** Repetimos el proceso con los nuevos datos: - Proporción muestral: $\hat{p} = \frac{53}{100} = 0.53$ - Tamaño de la muestra: $n = 100$ - $p_0$ y $\alpha$ se mantienen iguales. Calculamos el nuevo estadístico de contraste: $$Z = \frac{0.53 - 0.60}{\sqrt{\dfrac{0.60 \cdot 0.40}{100}}} = \frac{-0.07}{\sqrt{0.0024}} = \frac{-0.07}{0.04899} \approx -1.43$$ 💡 **Tip:** Observa que aunque la proporción muestral es la misma ($0.53$), al reducirse el tamaño de la muestra, el denominador aumenta, lo que hace que el valor de $Z$ sea menos extremo (esté más cerca de cero).

Mantenemos el mismo valor crítico de la región de rechazo para $\alpha = 0.05$: $$-z_{\alpha} = -1.645$$ Comparamos el nuevo valor del estadístico $Z = -1.43$ con el punto crítico: $$-1.43 \gt -1.645$$ En este caso, el valor del estadístico **no cae en la región de rechazo** (cae en la zona de aceptación). $$\boxed{\text{Se acepta } H_0. \text{ Con una muestra de 100 vuelos, sí se puede aceptar la afirmación de la compañía.}}$$ Esto sucede porque, con una muestra más pequeña, el margen de error es mayor y los datos no son lo suficientemente concluyentes para descartar la afirmación inicial de la compañía.