Distribución normal de la media muestral y aproximación de la binomial

**a) Se toma una muestra aleatoria de 16 pilas ¿Cuál es la probabilidad de que la duración media sea menos de 8.5 horas?** Primero definimos la variable aleatoria poblacional $X$, que representa la duración de una pila: $$X \sim N(\mu, \sigma) = N(9, \, 1.2)$$ Cuando tomamos una muestra de tamaño $n=16$, la duración media de la muestra, que llamaremos $\bar{X}$, sigue también una distribución normal con la misma media pero con una desviación típica menor (llamada error típico): $$\bar{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$$ Calculamos la nueva desviación típica para la media de 16 pilas: $$\sigma_{\bar{x}} = \frac{1.2}{\sqrt{16}} = \frac{1.2}{4} = 0.3$$ Por lo tanto, la distribución de la media muestral es: $$\bar{X} \sim N(9, \, 0.3)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la media de las medias muestrales coincide con la media poblacional, pero la dispersión disminuye al aumentar el tamaño de la muestra ($n$).

Queremos calcular $P(\bar{X} \lt 8.5)$. Para ello, tipificamos la variable para poder usar la tabla de la normal estándar $Z \sim N(0, 1)$: $$Z = \frac{\bar{X} - \mu}{\sigma_{\bar{x}}} = \frac{8.5 - 9}{0.3} = \frac{-0.5}{0.3} \approx -1.67$$ Ahora calculamos la probabilidad: $$P(\bar{X} \lt 8.5) = P(Z \lt -1.67)$$ Por simetría de la campana de Gauss, la probabilidad de ser menor que un valor negativo es igual a la probabilidad de ser mayor que su valor positivo: $$P(Z \lt -1.67) = P(Z \gt 1.67)$$ Y para buscar en la tabla (que suele acumular hacia la izquierda), usamos el suceso contrario: $$P(Z \gt 1.67) = 1 - P(Z \le 1.67)$$ Buscando en la tabla de la $N(0, 1)$, obtenemos que $P(Z \le 1.67) = 0.9525$: $$1 - 0.9525 = 0.0475$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\bar{X} \lt 8.5) = 0.0475}$$

**b) Se toma una muestra aleatoria de 80 pilas ¿Cuál es la probabilidad de que al menos 45 pilas duren más de 9 horas?** Primero, calculamos la probabilidad de que una sola pila dure más de 9 horas. Como la media es 9 y la distribución es simétrica, intuitivamente es $0.5$, pero lo comprobamos tipificando $X \sim N(9, 1.2)$: $$P(X \gt 9) = P\left(Z \gt \frac{9-9}{1.2}\right) = P(Z \gt 0) = 0.5$$ Ahora, al tomar 80 pilas, estamos ante un experimento de Bernoulli repetido $n=80$ veces, donde el éxito es que la pila dure más de 9 horas ($p = 0.5$). Sea $Y$ la variable que cuenta el número de pilas que cumplen esto: $$Y \sim B(n, p) = B(80, \, 0.5)$$ Se nos pide la probabilidad de que al menos 45 pilas duren más de 9 horas: $P(Y \ge 45)$. 💡 **Tip:** En una distribución normal, la media divide la distribución en dos partes iguales del $50\%$. Por eso $P(X \gt \mu) = 0.5$.

Como $n=80$ es un valor muy grande, no podemos calcular la binomial directamente. Comprobamos si podemos aproximar por una normal: 1. $n \cdot p = 80 \cdot 0.5 = 40 \gt 5$ 2. $n \cdot q = 80 \cdot 0.5 = 40 \gt 5$ La aproximación es válida. La nueva variable normal $Y'$ tendrá: - Media: $\mu_y = n \cdot p = 40$ - Desviación típica: $\sigma_y = \sqrt{n \cdot p \cdot q} = \sqrt{80 \cdot 0.5 \cdot 0.5} = \sqrt{20} \approx 4.47$ $$Y \approx Y' \sim N(40, \, 4.47)$$ Para pasar de una variable discreta (Binomial) a una continua (Normal), aplicamos la **corrección de continuidad de Yates**: $$P(Y \ge 45) = P(Y' \ge 44.5)$$ 💡 **Tip:** Al decir "al menos 45", incluimos el 45. En la aproximación normal, para incluir el valor, debemos restar $0.5$ al límite inferior.

Tipificamos el valor $44.5$ usando la media y desviación de nuestra aproximación: $$Z = \frac{44.5 - 40}{4.47} = \frac{4.5}{4.47} \approx 1.01$$ Buscamos la probabilidad correspondiente: $$P(Y' \ge 44.5) = P(Z \ge 1.01)$$ Usamos el suceso contrario para mirar en las tablas: $$P(Z \ge 1.01) = 1 - P(Z \le 1.01)$$ Buscando en la tabla de la $N(0, 1)$: $$P(Z \le 1.01) = 0.8438$$ Entonces: $$1 - 0.8438 = 0.1562$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(Y \ge 45) \approx 0.1562}$$