Optimización del volumen de una caja con tapa

**a) Plantear la función a maximizar** En primer lugar, definimos las variables de las dimensiones de la caja: - Ancho: $x$ - Largo: $y = 2x$ (ya que el enunciado indica que es el doble de larga que de ancha) - Alto: $z$ La función que queremos maximizar es el **volumen** de la caja ($V$). El volumen de un prisma rectangular es el producto de sus tres dimensiones: $$V = x \cdot y \cdot z$$ Sustituimos $y = 2x$ en la expresión: $$V(x, z) = x \cdot (2x) \cdot z = 2x^2 z$$ 💡 **Tip:** En problemas de optimización, siempre debemos identificar la magnitud que queremos hacer máxima o mínima y expresarla mediante una fórmula geométrica conocida. ✅ **Resultado (Función a maximizar):** $$\boxed{V = 2x^2 z}$$

**b) Plantear la condición a la que está sujeta la función a maximizar.** El enunciado nos dice que disponemos de $30\text{ m}^2$ de chapa para construir la caja **con tapa**. Esto significa que la suma de las áreas de todas sus caras debe ser igual a $30$. Las caras de la caja son: - Base y tapa (2 caras): $2 \cdot (x \cdot y) = 2 \cdot (x \cdot 2x) = 4x^2$ - Caras frontales/traseras (2 caras): $2 \cdot (y \cdot z) = 2 \cdot (2x \cdot z) = 4xz$ - Caras laterales (2 caras): $2 \cdot (x \cdot z) = 2xz$ Sumamos todas las áreas para obtener el área total: $$S = 4x^2 + 4xz + 2xz = 4x^2 + 6xz$$ Como el área total disponible es de $30\text{ m}^2$, la condición es: $$\boxed{4x^2 + 6xz = 30}$$ 💡 **Tip:** Asegúrate de leer bien si la caja tiene tapa o no, ya que esto cambia el número de caras a sumar en la restricción del área.

**c) ¿Qué medidas de ancho, largo y alto debe tener la caja?** Para poder derivar y encontrar el máximo, necesitamos que la función volumen dependa de una sola variable. Para ello, despejamos $z$ de la condición del apartado anterior: $$6xz = 30 - 4x^2 \implies z = \frac{30 - 4x^2}{6x}$$ Simplificamos dividiendo entre $2$: $$z = \frac{15 - 2x^2}{3x}$$ Ahora sustituimos esta expresión de $z$ en la función volumen $V = 2x^2 z$: $$V(x) = 2x^2 \left( \frac{15 - 2x^2}{3x} \right) = \frac{2x(15 - 2x^2)}{3} = \frac{30x - 4x^3}{3}$$ Simplificando la expresión final: $$V(x) = 10x - \frac{4}{3}x^3$$ Como las dimensiones deben ser positivas, el dominio de nuestra función es $x \gt 0$ y $15 - 2x^2 \gt 0$ (para que el alto $z$ sea positivo), lo que implica $x \in (0, \sqrt{7.5})$.

Para hallar el máximo, derivamos la función $V(x)$ e igualamos a cero: $$V'(x) = (10x - \frac{4}{3}x^3)' = 10 - \frac{4}{3} \cdot 3x^2 = 10 - 4x^2$$ Igualamos la primera derivada a cero: $$10 - 4x^2 = 0 \implies 4x^2 = 10 \implies x^2 = \frac{10}{4} = 2.5$$ Como $x$ representa una longitud, tomamos el valor positivo: $$x = \sqrt{2.5} \approx 1.581\text{ m}$$ 💡 **Tip:** Los puntos críticos donde se anula la derivada son candidatos a máximos o mínimos. Siempre debemos comprobar qué tipo de extremo son.

Utilizamos el criterio de la segunda derivada para confirmar que es un máximo: $$V''(x) = (10 - 4x^2)' = -8x$$ Evaluamos en el punto crítico $x = \sqrt{2.5}$: $$V''(\sqrt{2.5}) = -8\sqrt{2.5} \lt 0$$ Como la segunda derivada es negativa, confirmamos que en $x = \sqrt{2.5}$ existe un **máximo relativo**. $$\begin{array}{c|ccc} x & (0, \sqrt{2.5}) & \sqrt{2.5} & (\sqrt{2.5}, \sqrt{7.5}) \\ \hline V'(x) & + & 0 & - \\ \hline V(x) & \nearrow & \text{Máximo} & \searrow \end{array}$$

Calculamos las tres medidas de la caja sustituyendo el valor de $x = \sqrt{2.5}$: 1. **Ancho:** $x = \sqrt{2.5} \approx 1.58\text{ m}$ 2. **Largo:** $y = 2x = 2\sqrt{2.5} = \sqrt{4 \cdot 2.5} = \sqrt{10} \approx 3.16\text{ m}$ 3. **Alto:** Sustituimos en la expresión de $z$: $$z = \frac{15 - 2(2.5)}{3\sqrt{2.5}} = \frac{10}{3\sqrt{2.5}} \approx 2.11\text{ m}$$ Si queremos los valores exactos racionalizados: $x = \frac{\sqrt{10}}{2}\text{ m}$, $y = \sqrt{10}\text{ m}$, $z = \frac{10}{3\sqrt{2.5}} = \frac{10}{3\sqrt{10}/2} = \frac{20}{3\sqrt{10}} = \frac{2\sqrt{10}}{3}\text{ m}$. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Ancho } \approx 1.58\text{ m, Largo } \approx 3.16\text{ m, Alto } \approx 2.11\text{ m}}$$