Optimización de subvenciones mediante programación lineal

Para resolver este problema de programación lineal, primero definimos las variables de decisión: $x$: Número de transportistas. $y$: Número de empleados de almacén. A continuación, traducimos el enunciado a un sistema de inecuaciones (restricciones): 1. **Máximo de trabajadores totales:** $x + y \le 140$ 2. **Relación entre tipos de empleados:** $y \le 4x$ (esto equivale a $4x - y \ge 0$) 3. **Límite de empleados de almacén:** $y \le 80$ 4. **No negatividad:** $x \ge 0, y \ge 0$ (no puede haber un número negativo de trabajadores). 💡 **Tip:** Lee con cuidado las expresiones como "como máximo" ($\le$) y "a lo sumo" ($\le$). La función que queremos maximizar es la subvención total: $$S(x, y) = 1200x + 1800y$$

**a) ¿Se cumplen las condiciones anteriores con 30 transportistas y 70 empleados de almacén?** Para verificarlo, sustituimos $x = 30$ e $y = 70$ en todas las restricciones: 1. $x + y \le 140 \implies 30 + 70 = 100 \le 140$ (Verdadero) 2. $y \le 4x \implies 70 \le 4(30) \implies 70 \le 120$ (Verdadero) 3. $y \le 80 \implies 70 \le 80$ (Verdadero) 4. $x, y \ge 0 \implies 30, 70 \ge 0$ (Verdadero) Como el punto $(30, 70)$ satisface todas las inecuaciones, se cumplen las condiciones. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Sí, se cumplen todas las condiciones}}$$

Para hallar el óptimo, representamos gráficamente las rectas asociadas a las restricciones para delimitar la región factible: - $r_1: x + y = 140$ (Puntos: $(140, 0)$ y $(0, 140)$) - $r_2: y = 4x$ (Puntos: $(0, 0)$ y $(20, 80)$) - $r_3: y = 80$ (Recta horizontal) La intersección de estos semiplanos define un recinto cerrado cuyos vértices debemos calcular.

Calculamos los puntos de corte de las rectas para obtener los vértices del recinto: 1. **Vértice A:** Intersección de $y = 0$ y $y = 4x$. $\implies A(0, 0)$ 2. **Vértice B:** Intersección de $x + y = 140$ y $y = 0$. $x + 0 = 140 \implies x = 140 \implies B(140, 0)$ 3. **Vértice C:** Intersección de $x + y = 140$ y $y = 80$. $x + 80 = 140 \implies x = 60 \implies C(60, 80)$ 4. **Vértice D:** Intersección de $y = 80$ y $y = 4x$. $80 = 4x \implies x = 20 \implies D(20, 80)$ 💡 **Tip:** Los vértices son los puntos "esquina" donde se cruzan las restricciones. El máximo siempre estará en un vértice o en un segmento de la frontera.

**b) ¿Cuál es el número óptimo de transportistas y empleados de almacén para obtener la mayor subvención posible?** Evaluamos la función de subvención $S(x, y) = 1200x + 1800y$ en cada vértice: - $S(A) = S(0, 0) = 1200(0) + 1800(0) = 0\text{€}$ - $S(B) = S(140, 0) = 1200(140) + 1800(0) = 168.000\text{€}$ - $S(C) = S(60, 80) = 1200(60) + 1800(80) = 72.000 + 144.000 = 216.000\text{€}$ - $S(D) = S(20, 80) = 1200(20) + 1800(80) = 24.000 + 144.000 = 168.000\text{€}$ El valor máximo es $216.000\text{€}$, que se alcanza en el punto $C(60, 80)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{El número óptimo es de 60 transportistas y 80 empleados de almacén}}$$