Probabilidades en créditos bancarios

**a) Representar la situación mediante un diagrama en árbol.** Primero, definimos los sucesos que intervienen en el problema: - $V$: El crédito es para vivienda. - $I$: El crédito es para industria. - $P$: El crédito es personal (o de consumo). - $U$: El crédito resulta impagado. - $\bar{U}$: El crédito es pagado (no impagado). Organizamos los datos proporcionados: $P(V) = 0.30$ $P(I) = 0.50$ $P(P) = 0.20$ Las probabilidades condicionadas de impago son: $P(U|V) = 0.05 \implies P(\bar{U}|V) = 0.95$ $P(U|I) = 0.07 \implies P(\bar{U}|I) = 0.93$ $P(U|P) = 0.12 \implies P(\bar{U}|P) = 0.88$ Representamos el diagrama en árbol:

**b) Seleccionado un crédito al azar, calcular la probabilidad de que se pague.** Queremos calcular $P(\bar{U})$. Para ello, aplicamos el **Teorema de la Probabilidad Total**, ya que el suceso "pagar" puede ocurrir a través de cualquiera de las tres modalidades de crédito: $$P(\bar{U}) = P(V) \cdot P(\bar{U}|V) + P(I) \cdot P(\bar{U}|I) + P(P) \cdot P(\bar{U}|P)$$ Sustituimos los valores obtenidos del árbol: $$P(\bar{U}) = (0.30 \cdot 0.95) + (0.50 \cdot 0.93) + (0.20 \cdot 0.88)$$ Realizamos las operaciones paso a paso: $$P(\bar{U}) = 0.285 + 0.465 + 0.176$$ $$P(\bar{U}) = 0.926$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la suma de las probabilidades de todas las ramas que parten de un mismo nodo debe ser igual a 1. Por ejemplo, $P(U|V) + P(\bar{U}|V) = 0.05 + 0.95 = 1$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\bar{U}) = 0.926}$$

**c) Un determinado crédito ha resultado impagado. Calcular la probabilidad de que sea un crédito de vivienda.** En este apartado nos piden una probabilidad a posteriori, es decir, sabiendo que ha ocurrido el impago ($U$), cuál es la probabilidad de que proceda de la vivienda ($V$). Calcularemos $P(V|U)$ utilizando el **Teorema de Bayes**. La fórmula es: $$P(V|U) = \frac{P(V \cap U)}{P(U)} = \frac{P(V) \cdot P(U|V)}{P(U)}$$ Primero necesitamos $P(U)$. Como sabemos que $P(\bar{U}) = 0.926$ del apartado anterior: $$P(U) = 1 - P(\bar{U}) = 1 - 0.926 = 0.074$$ Ahora aplicamos Bayes: $$P(V|U) = \frac{0.30 \cdot 0.05}{0.074}$$ $$P(V|U) = \frac{0.015}{0.074}$$ Calculamos el valor decimal: $$P(V|U) \approx 0.2027$$ 💡 **Tip:** El Teorema de Bayes siempre relaciona una probabilidad condicionada con su inversa. Es fundamental haber calculado correctamente la probabilidad total en el denominador. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(V|U) = \frac{15}{74} \approx 0.2027}$$