Contraste de hipótesis para la media poblacional

**a) Plantear el contraste, para decidir si se acepta la información del fabricante.** Primero identificamos los datos del problema: - Media poblacional hipotética: $\mu_0 = 1600$ horas. - Tamaño de la muestra: $n = 100$. - Media muestral: $\bar{x} = 1570$ horas. - Desviación típica muestral: $s = 120$ horas. Dado que $n$ es grande ($n \ge 30$), podemos usar la desviación típica muestral como una buena estimación de la poblacional: $\sigma \approx 120$. El fabricante afirma que la duración media es **al menos** 1600 horas. Esto configura un contraste unilateral. - **Hipótesis nula ($H_0$):** $\mu \ge 1600$ (La afirmación del fabricante es cierta). - **Hipótesis alternativa ($H_1$):** $\mu \lt 1600$ (La duración media es significativamente inferior a lo que dice el fabricante). 💡 **Tip:** La hipótesis nula siempre contiene el signo de igualdad ($=$, $\ge$ o $\le$). En este caso, como queremos comprobar si se cumple el mínimo de 1600, es un contraste unilateral izquierdo. ✅ **Resultado:** $$\boxed{H_0: \mu \ge 1600; \quad H_1: \mu \lt 1600}$$

**b) ¿Puede aceptarse la información del fabricante con un nivel de significación del 4%?** Establecemos el nivel de significación: $$\alpha = 0,04$$ Como es un contraste unilateral izquierdo, buscamos el valor crítico $-z_{\alpha}$ tal que $P(Z \lt -z_{\alpha}) = 0,04$. Esto es equivalente a buscar $z_{\alpha}$ tal que: $$P(Z \lt z_{\alpha}) = 1 - 0,04 = 0,96$$ Consultando la tabla de la distribución Normal $N(0, 1)$, buscamos el valor más cercano a $0,9600$: - Para $z = 1,75$, la probabilidad es $0,9599$. - Para $z = 1,76$, la probabilidad es $0,9608$. Tomamos como valor crítico **$z_{\alpha} = 1,75$**. Por tanto, el valor que delimita la región de rechazo es $-1,75$. La **región de aceptación** es el intervalo $[-1,75, +\infty)$ y la **región de rechazo (crítica)** es $(-\infty, -1,75)$. 💡 **Tip:** Recuerda que en contrastes unilaterales a la izquierda, rechazamos si el estadístico es muy pequeño (negativo).

Calculamos el estadístico de contraste $Z$ para la muestra de $n=100$: $$Z = \frac{\bar{x} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}}$$ Sustituimos los valores: $$Z = \frac{1570 - 1600}{120 / \sqrt{100}} = \frac{-30}{120 / 10} = \frac{-30}{12} = -2,5$$ Ahora comparamos el valor obtenido con la región crítica: Como $Z = -2,5$ es menor que el valor crítico $-1,75$ (es decir, $-2,5 \in (-\infty, -1,75)$), el estadístico cae en la **región de rechazo**. Por tanto, se rechaza la hipótesis nula $H_0$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{No puede aceptarse la información del fabricante al 4% de significación.}}$$

**c) Si la misma información muestral se hubiese obtenido de una muestra de 40 bombillas, ¿se aceptaría la información del fabricante con un nivel de significación del 4%?** Repetimos el cálculo del estadístico con $n = 40$. Los demás valores se mantienen iguales: - $\bar{x} = 1570$ - $\mu_0 = 1600$ - $\sigma = 120$ - $z_{\alpha} = 1,75$ (porque el nivel de significación sigue siendo el 4%) Calculamos el nuevo estadístico: $$Z = \frac{\bar{x} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}} = \frac{1570 - 1600}{120 / \sqrt{40}}$$ Calculamos $\sqrt{40} \approx 6,3246$: $$Z = \frac{-30}{120 / 6,3246} = \frac{-30}{18,9737} \approx -1,581$$ Comparamos con el valor crítico $-1,75$: En este caso, $Z = -1,581$ es mayor que $-1,75$ (es decir, $-1,581 \in [-1,75, +\infty)$). El estadístico cae ahora en la **región de aceptación**. 💡 **Tip:** Observa cómo al disminuir el tamaño de la muestra, el error estándar aumenta, lo que hace que la diferencia entre la media muestral y la poblacional sea menos significativa estadísticamente. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Sí se aceptaría la información del fabricante con } n=40 \text{ al 4% de significación.}}$$