Estimación de proporciones e intervalos de confianza

Para empezar, debemos identificar los parámetros de nuestra muestra a partir del enunciado: 1. **Tamaño de la población ($N$):** 800 alumnos. 2. **Tamaño de la muestra ($n$):** Es el 15% de los alumnos matriculados. $$n = 0,15 \cdot 800 = 120$$ 3. **Proporción muestral ($\hat{p}$):** Nos piden la proporción de alumnos que **utilizan** la cafetería. El enunciado dice que 24 contestaron negativamente (no la usan). - Alumnos que usan la cafetería: $120 - 24 = 96$ - Proporción muestral: $$\hat{p} = \frac{96}{120} = 0,8$$ - Proporción complementaria (no la usan): $$\hat{q} = 1 - \hat{p} = 1 - 0,8 = 0,2$$ 💡 **Tip:** Lee con atención si el dato dado es el de éxito (usan la cafetería) o fracaso (no la usan). Aquí nos piden la proporción de los que **sí** la utilizan.

Para una confianza del 99%, calculamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$: 1. Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0,99$ 2. Nivel de significación: $\alpha = 1 - 0,99 = 0,01$ 3. Reparto de probabilidad: $\frac{\alpha}{2} = 0,005$ 4. Buscamos el valor en la tabla de la normal $N(0,1)$ tal que $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0,005 = 0,995$. Consultando la tabla, el valor exacto se encuentra entre 2,57 y 2,58. Usualmente se toma: $$z_{\alpha/2} = 2,575$$ 💡 **Tip:** Los valores críticos más comunes son $z_{\alpha/2} = 1,645$ (90%), $z_{\alpha/2} = 1,96$ (95%) y $z_{\alpha/2} = 2,575$ (99%). Memorizarlos te ahorrará tiempo.

**a) Con una confianza del 99%, estima en qué intervalo se encuentra la proporción de alumnos que utilizan la cafetería del instituto.** La fórmula para el intervalo de confianza de una proporción es: $$IC = \left( \hat{p} - z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}\hat{q}}{n}}, \hat{p} + z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}\hat{q}}{n}} \right)$$ Sustituimos los valores obtenidos: $$IC = \left( 0,8 - 2,575 \sqrt{\frac{0,8 \cdot 0,2}{120}}, 0,8 + 2,575 \sqrt{\frac{0,8 \cdot 0,2}{120}} \right)$$ Calculamos el error estándar: $$\sqrt{\frac{0,16}{120}} = \sqrt{0,001333} \approx 0,0365$$ Calculamos el margen de error: $$E = 2,575 \cdot 0,0365 \approx 0,094$$ Por tanto, el intervalo es: $$IC = (0,8 - 0,094; 0,8 + 0,094) = (0,706; 0,894)$$ ✅ **Resultado (Intervalo de confianza):** $$\boxed{IC = (0,706; 0,894)}$$

**b) Con una confianza del 99%, ¿cuál es el error máximo cometido con la estimación que nos da la muestra?** El error máximo cometido ya lo hemos calculado en el paso anterior como parte del intervalo de confianza. Viene dado por la expresión: $$E = z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}\hat{q}}{n}}$$ Sustituyendo los valores para el nivel de confianza del 99%: $$E = 2,575 \cdot \sqrt{\frac{0,8 \cdot 0,2}{120}} = 2,575 \cdot 0,036514... \approx 0,094$$ Expresado en porcentaje, el error máximo es del **9,4%**. ✅ **Resultado (Error máximo):** $$\boxed{E \approx 0,094 \text{ (o } 9,4\%\text{)}}$$

**c) ¿Qué tamaño muestral hubiese sido necesario tomar para estimar dicha proporción con un error menor del 6% y con una confianza del 99%?** Queremos que el error $E \lt 0,06$ con $z_{\alpha/2} = 2,575$. Partimos de la fórmula del error y despejamos $n$: $$E = z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}\hat{q}}{n}} \implies E^2 = z_{\alpha/2}^2 \frac{\hat{p}\hat{q}}{n} \implies n = \frac{z_{\alpha/2}^2 \cdot \hat{p} \cdot \hat{q}}{E^2}$$ Como no nos dicen lo contrario, utilizamos las proporciones estimadas de la muestra anterior ($\hat{p}=0,8$ y $\hat{q}=0,2$): $$n = \frac{(2,575)^2 \cdot 0,8 \cdot 0,2}{(0,06)^2}$$ $$n = \frac{6,630625 \cdot 0,16}{0,0036} = \frac{1,0609}{0,0036} \approx 294,69$$ Como el tamaño muestral debe ser un número entero y el error debe ser **menor** que el 6%, debemos redondear siempre al entero superior. 💡 **Tip:** En problemas de tamaño muestral, aunque el decimal sea bajo (por ejemplo .1), siempre redondeamos hacia arriba para garantizar que el error sea estrictamente menor al pedido. ✅ **Resultado (Tamaño muestral):** $$\boxed{n = 295 \text{ alumnos}}$$