Estudio de una función epidemiológica

Para resolver los apartados, primero necesitamos calcular la derivada de la función $f(t)$. Dado que es un cociente, aplicamos la regla de derivación: $$\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$$ Siendo $u = 2500t$ y $v = t^2 + 25$: - $u' = 2500$ - $v' = 2t$ Calculamos $f'(t)$: $$f'(t) = \frac{2500(t^2 + 25) - 2500t(2t)}{(t^2 + 25)^2}$$ $$f'(t) = \frac{2500t^2 + 62500 - 5000t^2}{(t^2 + 25)^2}$$ $$f'(t) = \frac{62500 - 2500t^2}{(t^2 + 25)^2}$$ 💡 **Tip:** Simplificar el numerador antes de operar facilita encontrar los puntos críticos donde la derivada se anula. $$\boxed{f'(t) = \frac{2500(25 - t^2)}{(t^2 + 25)^2}}$$

**a) ¿En qué día se tiene el máximo número de enfermos? ¿Cuántos son éstos?** Para encontrar el máximo, igualamos la primera derivada a cero: $$f'(t) = 0 \implies 2500(25 - t^2) = 0 \implies 25 - t^2 = 0$$ $$t^2 = 25 \implies t = \pm 5$$ Como $t$ representa el tiempo en días, descartamos el valor negativo y nos quedamos con **$t = 5$**. Para confirmar que es un máximo, estudiamos el signo de $f'(t)$ alrededor de $t = 5$: $$\begin{array}{c|ccc} t & (0, 5) & 5 & (5, +\infty)\\ \hline f'(t) & + & 0 & -\\ \text{Crecimiento} & \nearrow & \text{Máximo} & \searrow\\ \end{array}$$ - Si $t \lt 5$, por ejemplo $t=1$, $f'(1) = \frac{2500(24)}{26^2} \gt 0$, la función crece. - Si $t \gt 5$, por ejemplo $t=6$, $f'(6) = \frac{2500(-11)}{61^2} \lt 0$, la función decrece. El máximo ocurre en el **día 5**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{t = 5 \text{ días}}$$

Para saber cuántos enfermos hay ese día, sustituimos $t = 5$ en la función original $f(t)$: $$f(5) = \frac{2500(5)}{5^2 + 25} = \frac{12500}{25 + 25} = \frac{12500}{50} = 250$$ Recordemos que el enunciado indica que el número de personas está expresado **en miles**. Por tanto: $$250 \times 1000 = 250.000$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{250.000 \text{ personas}}$$

**b) ¿Sería correcto afirmar que la enfermedad se irá extinguiendo con el transcurso del tiempo? Justifícalo razonadamente.** Para analizar qué ocurre a largo plazo, debemos calcular el límite de la función cuando el tiempo $t$ tiende a infinito: $$\lim_{t \to +\infty} f(t) = \lim_{t \to +\infty} \frac{2500t}{t^2 + 25}$$ Como el grado del denominador ($2$) es mayor que el grado del numerador ($1$), el límite es cero: $$\lim_{t \to +\infty} \frac{2500t}{t^2 + 25} = 0$$ Esto significa que, a medida que pasan los días, el número de personas afectadas se acerca a cero. Por lo tanto, **es correcto afirmar que la enfermedad se irá extinguiendo**. 💡 **Tip:** En una función racional, si el grado del denominador supera al del numerador, la asíntota horizontal es $y=0$ cuando $x \to \infty$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Sí, porque } \lim_{t \to \infty} f(t) = 0}$$

**c) ¿Cuál es la tasa de cambio del número de personas afectadas correspondiente al décimo día?** La tasa de cambio coincide con el valor de la derivada en ese punto. Debemos calcular $f'(10)$ usando la expresión hallada en el paso 1: $$f'(t) = \frac{62500 - 2500t^2}{(t^2 + 25)^2}$$ Sustituimos $t = 10$: $$f'(10) = \frac{62500 - 2500(10)^2}{(10^2 + 25)^2} = \frac{62500 - 250000}{(100 + 25)^2}$$ $$f'(10) = \frac{-187500}{125^2} = \frac{-187500}{15625} = -12$$ La tasa de cambio es $-12$. Como los datos están en miles, esto significa que el número de enfermos está disminuyendo a un ritmo de **12.000 personas por día**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{f'(10) = -12 \text{ (miles de personas/día)}}$$