Programación lineal: Optimización de gastos de contratación

**a) Plantear el problema y representar la región factible.** En primer lugar, definimos las variables de decisión del problema: - $x$: número de jóvenes contratados. - $y$: número de adultos contratados. El enunciado nos habla de un gasto mensual. Por cada joven contratado la empresa **recibe** 200€ (es un ingreso, por lo que resta al gasto) y por cada adulto **paga** 350€. Definimos la función de gasto $G(x, y)$: $$G(x, y) = 350y - 200x$$ 💡 **Tip:** El objetivo será minimizar esta función. Recuerda que recibir una ayuda funciona como un "gasto negativo" en el balance total.

Traducimos las condiciones del enunciado a desigualdades matemáticas: 1. **Mínimo de adultos:** Tiene que contratar al menos 10 adultos. $$y \ge 10$$ 2. **Límite total de trabajadores:** No puede contratar más de 100 en total. $$x + y \le 100$$ 3. **Proporción de jóvenes:** El número de jóvenes ($x$) es como máximo el triple de adultos ($y$). $$x \le 3y \implies x - 3y \le 0$$ 4. **No negatividad:** Obviamente, el número de trabajadores no puede ser negativo. $$x \ge 0$$ El sistema de restricciones es: $$\begin{cases} y \ge 10 \\ x + y \le 100 \\ x - 3y \le 0 \\ x \ge 0 \end{cases}$$ ✅ **Planteamiento:** $$\boxed{\text{Minimizar } G(x,y)=350y - 200x \text{ sujeto a las restricciones anteriores}}$$

Para representar la región factible, dibujamos las rectas asociadas a cada restricción y determinamos el semiplano que cumplen: - $r_1: y = 10$ (Recta horizontal). - $r_2: x + y = 100$ (Pasa por $(100,0)$ y $(0,100)$). - $r_3: x = 3y$ (Pasa por $(0,0)$ y $(30,10)$). - $r_4: x = 0$ (Eje de ordenadas). La región factible es el recinto cerrado cuyos vértices calcularemos en el siguiente paso.

Calculamos los puntos de intersección de las rectas que limitan la región: - **Punto A** ($x=0$ e $y=10$): $$A(0, 10)$$ - **Punto B** ($x=3y$ e $y=10$): $x = 3(10) = 30 \implies B(30, 10)$ - **Punto C** ($x+y=100$ y $x=3y$): $3y + y = 100 \implies 4y = 100 \implies y = 25$ $x = 3(25) = 75 \implies C(75, 25)$ - **Punto D** ($x+y=100$ y $x=0$): $0 + y = 100 \implies D(0, 100)$ 💡 **Tip:** Los vértices son los puntos candidatos a ser la solución óptima del problema según el teorema fundamental de la programación lineal.

**b) ¿Cuántos jóvenes y cuántos adultos debe contratar para que su gasto mensual sea mínimo?** Evaluamos $G(x, y) = 350y - 200x$ en cada vértice: - En $A(0, 10)$: $G(0, 10) = 350(10) - 200(0) = 3500 \text{ euros}$. - En $B(30, 10)$: $G(30, 10) = 350(10) - 200(30) = 3500 - 6000 = -2500 \text{ euros}$. - En $C(75, 25)$: $G(75, 25) = 350(25) - 200(75) = 8750 - 15000 = -6250 \text{ euros}$. - En $D(0, 100)$: $G(0, 100) = 350(100) - 200(0) = 35000 \text{ euros}$. El valor mínimo es $-6250$, lo que significa que la empresa no solo no tiene gastos, sino que obtiene un beneficio neto de 6250€ gracias a las ayudas por contratación de jóvenes. Para que el gasto sea mínimo debe contratar a **75 jóvenes** y **25 adultos**. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{75 jóvenes y 25 adultos}}$$