Estimación de proporciones y tamaño muestral

**a) ¿En qué intervalo se encuentra la proporción de familias que cambiaría de operador, con una confianza del 97%?** Primero, identificamos los datos que nos proporciona el enunciado para la muestra: - Tamaño de la muestra ($n$): $520$ familias. - Casos favorables ($x$): $150$ familias. Calculamos la proporción muestral $\hat{p}$: $$\hat{p} = \frac{x}{n} = \frac{150}{520} \approx 0.2885$$ La proporción complementaria (las que no se cambiarían) es $\hat{q}$: $$\hat{q} = 1 - \hat{p} = 1 - 0.2885 = 0.7115$$ 💡 **Tip:** La proporción muestral $\hat{p}$ es el mejor estimador puntual de la proporción poblacional $p$. Siempre se cumple que $\hat{p} + \hat{q} = 1$.

Para un nivel de confianza del $97\%$, debemos encontrar el valor crítico $z_{\alpha/2}$. 1. El nivel de confianza es $1 - \alpha = 0.97$. 2. Esto implica que $\alpha = 1 - 0.97 = 0.03$. 3. Calculamos $\alpha/2 = 0.03 / 2 = 0.015$. 4. Buscamos el valor de $z$ tal que la probabilidad acumulada sea $1 - \alpha/2 = 1 - 0.015 = 0.985$. Consultando la tabla de la distribución Normal $N(0,1)$: $$p(Z \le z_{\alpha/2}) = 0.985 \implies z_{\alpha/2} = 2.17$$ 💡 **Tip:** El valor crítico $z_{\alpha/2}$ es el valor de la abscisa que deja a su derecha una probabilidad de $\alpha/2$ en una distribución normal estándar.

La fórmula del intervalo de confianza para una proporción es: $$I.C. = \left( \hat{p} - z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}}, \quad \hat{p} + z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}} \right)$$ Calculamos primero el error máximo admisible ($E$): $$E = z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}} = 2.17 \cdot \sqrt{\frac{0.2885 \cdot 0.7115}{520}}$$ $$E = 2.17 \cdot \sqrt{0.00039474} \approx 2.17 \cdot 0.019868 \approx 0.0431$$ Ahora construimos el intervalo: $$I.C. = (0.2885 - 0.0431, \quad 0.2885 + 0.0431) = (0.2454, \quad 0.3316)$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{I.C. = (0.2454, \quad 0.3316)}$$

**b) Haciendo uso de la información muestral inicial, ¿qué tamaño muestral sería necesario para estimar la proporción de familias que se cambiarían de operador, con un error menor del 2% y una confianza del 95%?** Para este apartado, cambian las condiciones: - Error máximo ($E$) $\lt 0.02$ (que es el $2\%$). - Confianza ($1 - \alpha$) = $0.95$. Para este nivel, el valor crítico es $z_{\alpha/2} = 1.96$ (puesto que $1 - 0.05/2 = 0.975$ en la tabla). - Usamos la proporción muestral inicial: $\hat{p} = 0.2885$ y $\hat{q} = 0.7115$. La fórmula del error es $E = z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}}$. Despejamos $n$: $$n = \frac{z_{\alpha/2}^2 \cdot \hat{p} \cdot \hat{q}}{E^2}$$ Sustituimos los valores: $$n = \frac{(1.96)^2 \cdot 0.2885 \cdot 0.7115}{(0.02)^2}$$ $$n = \frac{3.8416 \cdot 0.20526775}{0.0004} = \frac{0.788556}{0.0004} = 1971.39$$ Como el tamaño muestral debe ser un número entero y el error debe ser **menor** del $2\%$, debemos redondear siempre al entero superior. 💡 **Tip:** En problemas de tamaño muestral, si el resultado tiene decimales, siempre redondeamos hacia arriba para asegurar que el error sea igual o menor al pedido. ✅ **Resultado:** $$\boxed{n = 1972 \text{ familias}}$$