Intervalo de confianza y tamaño muestral para el peso medio

**a) Calcular el intervalo de confianza para el peso medio de los salmones adultos con un nivel de confianza del 97%.** Primero, extraemos los datos que nos proporciona el enunciado para la muestra: - Tamaño de la muestra: $n = 50$ - Peso medio muestral: $\bar{x} = 3500\text{ gr}$ - Desviación típica muestral: $s = 750\text{ gr}$ Como el tamaño de la muestra es suficientemente grande ($n \ge 30$), podemos utilizar la desviación típica muestral como una buena estimación de la desviación típica poblacional, es decir, $\sigma \approx 750\text{ gr}$. El nivel de confianza es del $97\%$, por lo que: $$1 - \alpha = 0.97 \implies \alpha = 0.03$$ 💡 **Tip:** En inferencia estadística, cuando no conocemos la desviación típica de la población ($\sigma$) pero la muestra es grande ($n \ge 30$), aplicamos el Teorema Central del Límite y usamos $s$ en su lugar.

Para un nivel de confianza del $97\%$, el nivel de significación es $\alpha = 0.03$. Calculamos la probabilidad acumulada para encontrar el valor crítico en la tabla de la distribución Normal $N(0,1)$: $$\frac{\alpha}{2} = \frac{0.03}{2} = 0.015$$ Buscamos el valor $z_{\alpha/2}$ tal que: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.015 = 0.9850$$ Buscando en la tabla de la distribución normal estándar, el valor de probabilidad $0.9850$ corresponde exactamente a: $$\boxed{z_{\alpha/2} = 2.17}$$ 💡 **Tip:** El valor crítico $z_{\alpha/2}$ marca los límites de la zona central de la campana de Gauss que encierra el porcentaje de confianza deseado.

La fórmula del intervalo de confianza para la media poblacional $\mu$ es: $$IC = \left( \bar{x} - z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{x} + z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)$$ Calculamos primero el error máximo admisible ($E$): $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 2.17 \cdot \frac{750}{\sqrt{50}}$$ $$E = 2.17 \cdot \frac{750}{7.071} \approx 2.17 \cdot 106.066 = 230.16$$ Ahora construimos el intervalo: $$IC = (3500 - 230.16, 3500 + 230.16)$$ $$IC = (3269.84, 3730.16)$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{IC = (3269.84, 3730.16)}$$

**b) Con un nivel de confianza del 98%, determinar el número mínimo de salmones que se han de elegir para estimar el peso medio con un error menor de 100gr.** Para este apartado, cambian las condiciones: - Nuevo nivel de confianza: $98\% \implies 1 - \alpha = 0.98 \implies \alpha = 0.02$ - Error máximo permitido: $E \lt 100\text{ gr}$ - Desviación típica: $\sigma = 750\text{ gr}$ Calculamos el nuevo valor crítico $z_{\alpha/2}$: $$\frac{\alpha}{2} = \frac{0.02}{2} = 0.01$$ $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.01 = 0.99$$ Buscando en la tabla de la Normal $N(0,1)$, el valor de probabilidad $0.99$ se encuentra entre $2.32$ (probabilidad $0.9898$) y $2.33$ (probabilidad $0.9901$). Tomaremos el valor más preciso o habitual en Bachillerato: $$\boxed{z_{\alpha/2} = 2.33}$$ 💡 **Tip:** Algunos profesores aceptan $2.325$ por ser el valor intermedio, pero $2.33$ es el estándar más usado en las tablas de las pruebas EBAU/PAU.

Partimos de la fórmula del error y despejamos $n$: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \implies \sqrt{n} = \frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E}$$ Elevando al cuadrado ambos miembros: $$n = \left( \frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E} \right)^2$$ Sustituimos los valores con la condición $E \lt 100$: $$n \gt \left( \frac{2.33 \cdot 750}{100} \right)^2$$ $$n \gt (17.475)^2$$ $$n \gt 305.37$$ Como el número de ejemplares debe ser un número entero y el error debe ser **menor** de $100$, debemos redondear siempre al entero superior, independientemente de los decimales. ✅ **Resultado:** $$\boxed{n = 306 \text{ salmones}}$$ 💡 **Tip:** En problemas de tamaño muestral, si el resultado tiene decimales, siempre se redondea hacia arriba para garantizar que el error sea estrictamente menor que el solicitado.