Optimización de la producción de plátanos

**a) ¿Cuál es la temperatura óptima para la producción máxima del plátano en Canarias y qué producción se obtiene?** Para hallar el máximo de una función, primero debemos derivarla. Podemos derivar $P(t) = (32 - t)(t + 1)^2$ usando la regla del producto o expandiendo el polinomio. Expandirlo suele ser menos propenso a errores: 1. Expandimos $(t+1)^2$: $t^2 + 2t + 1$. 2. Multiplicamos por $(32-t)$: $$P(t) = (32-t)(t^2 + 2t + 1) = 32t^2 + 64t + 32 - t^3 - 2t^2 - t$$ $$P(t) = -t^3 + 30t^2 + 63t + 32$$ Ahora calculamos la primera derivada $P'(t)$: $$P'(t) = -3t^2 + 60t + 63$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la derivada de $x^n$ es $n \cdot x^{n-1}$. Derivamos término a término. $$\boxed{P'(t) = -3t^2 + 60t + 63}$$

Igualamos la derivada a cero para encontrar los posibles máximos o mínimos: $$-3t^2 + 60t + 63 = 0$$ Podemos simplificar la ecuación dividiendo todo entre $-3$: $$t^2 - 20t - 21 = 0$$ Aplicamos la fórmula general para ecuaciones de segundo grado: $$t = \frac{-(-20) \pm \sqrt{(-20)^2 - 4(1)(-21)}}{2(1)} = \frac{20 \pm \sqrt{400 + 84}}{2} = \frac{20 \pm \sqrt{484}}{2} = \frac{20 \pm 22}{2}$$ Obtenemos dos soluciones: - $t_1 = \frac{20 + 22}{2} = \frac{42}{2} = 21$ - $t_2 = \frac{20 - 22}{2} = -1$ Dado que el enunciado restringe el dominio a $t \ge 10$, la única solución válida es **$t = 21$**. 💡 **Tip:** Revisa siempre las restricciones del dominio del problema (en este caso $t \ge 10$) para descartar soluciones que no tengan sentido físico o matemático en el contexto.

Para confirmar que en $t = 21$ hay un máximo, estudiamos el signo de $P'(t)$ a ambos lados de este punto dentro del dominio $[10, \infty)$: $$\begin{array}{c|ccc} t & (10, 21) & 21 & (21, 32) \\\hline P'(t) & + & 0 & - \\\hline P(t) & \text{Creciente} (\nearrow) & \text{Máximo} & \text{Decreciente} (\searrow) \end{array}$$ - Para $t=15$: $P'(15) = -3(15)^2 + 60(15) + 63 = -675 + 900 + 63 = 288 > 0$ (Creciente). - Para $t=25$: $P'(25) = -3(25)^2 + 60(25) + 63 = -1875 + 1500 + 63 = -312 < 0$ (Decreciente). La temperatura óptima es **$21$ grados**. Calculamos la producción máxima sustituyendo $t=21$ en $P(t)$: $$P(21) = (32 - 21)(21 + 1)^2 = 11 \cdot (22)^2 = 11 \cdot 484 = 5324 \text{ toneladas}$$ ✅ **Resultado (Temperatura y Producción):** $$\boxed{t = 21^\circ\text{C}, \quad P = 5324 \text{ toneladas}}$$

**b) ¿A qué temperatura no hay cosecha?** No hay cosecha cuando la producción es cero, es decir, $P(t) = 0$. $$(32 - t)(t + 1)^2 = 0$$ Para que un producto sea cero, uno de sus factores debe serlo: 1. $32 - t = 0 \implies t = 32$ 2. $(t + 1)^2 = 0 \implies t = -1$ De nuevo, aplicando la restricción del enunciado $t \ge 10$, el único valor posible es $t = 32$. 💡 **Tip:** En problemas de contexto real, los puntos de corte con el eje horizontal representan los límites de viabilidad de la actividad. ✅ **Resultado (Cosecha cero):** $$\boxed{t = 32^\circ\text{C}}$$

**c) Con temperaturas entre 15 y 25 grados, ¿a qué temperatura es mínima la producción?** En un intervalo cerrado $[15, 25]$, el mínimo absoluto de una función continua puede estar en los extremos del intervalo o en un punto crítico dentro de él. - Ya sabemos que en $t=21$ hay un **máximo** relativo. - Por tanto, el **mínimo** debe estar en uno de los extremos: $t=15$ o $t=25$. Calculamos la producción en ambos: - Para $t=15$: $P(15) = (32-15)(15+1)^2 = 17 \cdot 16^2 = 17 \cdot 256 = 4352$ toneladas. - Para $t=25$: $P(25) = (32-25)(25+1)^2 = 7 \cdot 26^2 = 7 \cdot 676 = 4732$ toneladas. Comparando ambos valores: $4352 \lt 4732$. Por tanto, la producción mínima se da a los $15$ grados. ✅ **Resultado (Mínimo en intervalo):** $$\boxed{t = 15^\circ\text{C}}$$