Sistema de ecuaciones: Venta de billetes de avión

**a) Plantear un sistema de ecuaciones para averiguar cuántos billetes ha vendido la agencia para cada uno de los tres destinos.** En primer lugar, definimos las incógnitas que representan las cantidades que queremos encontrar: - $x$: número de billetes vendidos para las **Islas Canarias**. - $y$: número de billetes vendidos para la **Península**. - $z$: número de billetes vendidos para el **extranjero**. Traducimos el enunciado a ecuaciones matemáticas: 1. El total de billetes es 450: $$x + y + z = 450$$ 2. Los billetes a la Península ($y$) son la mitad del resto (Islas + extranjero): $$y = \frac{x + z}{2}$$ Para simplificarla, multiplicamos por 2: $2y = x + z$, o lo que es lo mismo: $x - 2y + z = 0$. 3. Por cada tres billetes para las Islas se vende uno para el extranjero: Esto significa que el número de billetes a las Islas es el triple que al extranjero: $$x = 3z \implies x - 3z = 0$$ 💡 **Tip:** Ten cuidado con las proporciones. Si por cada 3 de A hay 1 de B, entonces $A = 3B$. Una forma de comprobarlo es sustituir: si $z=1$, entonces $x=3$, lo cual cumple la frase. El sistema planteado es: $$\boxed{\begin{cases} x + y + z = 450 \\ x - 2y + z = 0 \\ x - 3z = 0 \end{cases}}$$

**b) Resolver el problema.** Dado que tenemos una relación directa entre $x$ y $z$, el método de **sustitución** es el más rápido. De la tercera ecuación tenemos: $$x = 3z$$ Sustituimos este valor de $x$ en la segunda ecuación para hallar $y$ en función de $z$: $$y = \frac{3z + z}{2} = \frac{4z}{2} = 2z$$ Ahora que tenemos $x$ e $y$ expresadas en función de $z$, sustituimos ambas en la primera ecuación: $$(3z) + (2z) + z = 450$$ $$6z = 450$$ Calculamos $z$: $$z = \frac{450}{6} = 75$$ 💡 **Tip:** En problemas de contexto con personas u objetos indivisibles (como billetes), los resultados deben ser números enteros y positivos.

Una vez hallado el valor de $z$, calculamos el resto de variables utilizando las expresiones obtenidas anteriormente: - Para las Islas Canarias ($x$): $$x = 3z = 3 \cdot 75 = 225$$ - Para la Península ($y$): $$y = 2z = 2 \cdot 75 = 150$$ Comprobamos que la suma es correcta: $225 + 150 + 75 = 450$. La agencia ha vendido: - **225 billetes para las Islas Canarias.** - **150 billetes para la Península.** - **75 billetes para el extranjero.** ✅ **Resultado final:** $$\boxed{x = 225, \quad y = 150, \quad z = 75}$$