Inferencia estadística: Proporción y tamaño muestral

**a) Determinar, con una confianza del 92%, entre qué valores se encuentra el número de conejos enfermos.** En primer lugar, extraemos los datos que nos proporciona el enunciado para la muestra: - Tamaño de la muestra: $n = 80$. - Conejos enfermos en la muestra: $X = 21$. - Población total: $N = 12000$. Calculamos la proporción muestral de conejos enfermos ($\hat{p}$): $$\hat{p} = \frac{21}{80} = 0,2625$$ Por tanto, la proporción de conejos sanos en la muestra ($\hat{q}$) es: $$\hat{q} = 1 - \hat{p} = 1 - 0,2625 = 0,7375$$ 💡 **Tip:** La proporción muestral $\hat{p}$ es la mejor estimación puntual de la proporción poblacional $p$.

Para un nivel de confianza del $92\%$, calculamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$: 1. Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0,92$. 2. Nivel de significación: $\alpha = 1 - 0,92 = 0,08$. 3. Calculamos $\alpha/2 = 0,04$. 4. Buscamos el valor $z_{\alpha/2}$ tal que $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0,04 = 0,96$. Buscando en la tabla de la distribución Normal $N(0,1)$: - Para $0,9599$ corresponde un valor de $z = 1,75$. - Para $0,9608$ corresponde un valor de $z = 1,76$. Tomaremos el valor más cercano: $$z_{\alpha/2} = 1,75$$ 💡 **Tip:** El valor crítico $z_{\alpha/2}$ marca los límites en la normal estándar que dejan fuera el error $\alpha$ (repartido en dos colas).

Calculamos el error máximo admisible para la proporción mediante la fórmula: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}}$$ Sustituimos los valores: $$E = 1,75 \cdot \sqrt{\frac{0,2625 \cdot 0,7375}{80}} = 1,75 \cdot \sqrt{\frac{0,19359375}{80}} \approx 1,75 \cdot 0,0492 = 0,0861$$ El intervalo de confianza para la proporción $p$ es: $$IC = (\hat{p} - E, \hat{p} + E) = (0,2625 - 0,0861; \, 0,2625 + 0,0861) = (0,1764; \, 0,3486)$$ 💡 **Tip:** El intervalo de confianza nos da un rango de valores probables para la proporción real de toda la granja.

El enunciado nos pide el número de conejos enfermos en la población total ($N = 12000$). Para ello, multiplicamos los extremos del intervalo de la proporción por el total de la población: - Límite inferior: $12000 \cdot 0,1764 = 2116,8$ - Límite superior: $12000 \cdot 0,3486 = 4183,2$ Redondeando a números enteros, con una confianza del $92\%$, el número de conejos enfermos se encuentra en el intervalo: ✅ **Resultado:** $$\boxed{[2117, \, 4183]}$$

**b) Haciendo uso de la información muestral inicial, ¿qué número de conejos será necesario estudiar para estimar la proporción de conejos enfermos con un error menor del 7% y con una confianza del 92%?** Datos necesarios: - Error máximo: $E \lt 0,07$ (7%). - Nivel de confianza: $92\% \implies z_{\alpha/2} = 1,75$. - Proporción muestral inicial: $\hat{p} = 0,2625$ y $\hat{q} = 0,7375$. Utilizamos la fórmula del tamaño muestral despejada del error: $$n = \frac{z_{\alpha/2}^2 \cdot \hat{p} \cdot \hat{q}}{E^2}$$ Sustituimos: $$n = \frac{1,75^2 \cdot 0,2625 \cdot 0,7375}{0,07^2} = \frac{3,0625 \cdot 0,19359375}{0,0049} = \frac{0,59288}{0,0049} \approx 120,996$$ Como buscamos un error *menor* del $7\%$, siempre debemos redondear el resultado hacia arriba al número entero más próximo para garantizar que el error no se exceda. 💡 **Tip:** Si no tuviéramos información previa sobre $\hat{p}$, usaríamos el caso más desfavorable $\hat{p} = 0,5$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{n = 121 \text{ conejos}}$$