Contraste de hipótesis e intervalo de confianza para la media

**a) ¿Se puede aceptar, con un nivel de significación del 5%, que el precio medio es como máximo de 200€?** Primero, identificamos los datos del enunciado: - Desviación típica poblacional: $\sigma = 15$. - Tamaño de la muestra: $n = 9$. - Nivel de significación: $\alpha = 0,05$. Calculamos la media de la muestra ($\bar{x}$): $$\bar{x} = \frac{195 + 208 + 238 + 212 + 199 + 206 + 225 + 201 + 215}{9}$$ $$\bar{x} = \frac{1899}{9} = 211$$ 💡 **Tip:** La media muestral es fundamental tanto para contrastes de hipótesis como para intervalos de confianza. Asegúrate de sumar correctamente todos los valores antes de dividir. $$\boxed{\bar{x} = 211}$$

Queremos contrastar si el precio medio es, como máximo, de $200€$. Esto define un contraste unilateral a la derecha: - Hipótesis nula ($H_0$): $\mu \le 200$ (El precio medio es como máximo $200€$) - Hipótesis alternativa ($H_1$): $\mu \gt 200$ (El precio medio es superior a $200€$) El nivel de significación es $\alpha = 0,05$. En una distribución normal estándar $Z$, buscamos el valor crítico $z_{\alpha}$ tal que: $$P(Z \le z_{\alpha}) = 1 - \alpha = 0,95$$ Consultando las tablas de la normal (o por valores conocidos): $$z_{\alpha} = 1,645$$ La región de aceptación será el intervalo $(-\infty, 1,645]$ y la región de rechazo $(1,645, +\infty)$.

Calculamos el valor del estadístico de contraste ($Z_{exp}$) utilizando la fórmula: $$Z_{exp} = \frac{\bar{x} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}}$$ Sustituimos los valores: $$Z_{exp} = \frac{211 - 200}{15 / \sqrt{9}} = \frac{11}{15 / 3} = \frac{11}{5} = 2,2$$ Comparamos el estadístico con el valor crítico: Como $Z_{exp} = 2,2 \gt 1,645$, el valor cae en la **región de rechazo**. Por tanto, rechazamos la hipótesis nula $H_0$. No se puede aceptar que el precio medio sea como máximo de $200€$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{No se puede aceptar con un nivel del 5%}}$$

**b) Determine el intervalo de confianza, al 90 %, para el precio medio de este producto** Para un nivel de confianza del $90\%$, tenemos: $$1 - \alpha = 0,90 \implies \alpha = 0,10 \implies \frac{\alpha}{2} = 0,05$$ Buscamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ tal que: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0,05 = 0,95$$ Como vimos en el apartado anterior: $$z_{\alpha/2} = 1,645$$ 💡 **Tip:** Recuerda que en los intervalos de confianza el nivel de significación $\alpha$ se reparte en dos colas, por lo que buscamos $z_{\alpha/2}$.

Calculamos el error máximo admisible ($E$): $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$ $$E = 1,645 \cdot \frac{15}{\sqrt{9}} = 1,645 \cdot 5 = 8,225$$ El intervalo de confianza viene dado por $(\bar{x} - E, \bar{x} + E)$: $$I.C. = (211 - 8,225 \, , \, 211 + 8,225)$$ $$I.C. = (202,775 \, , \, 219,225)$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{I.C._{90\%} = (202,775 \, , \, 219,225)}$$