Optimización del beneficio en la venta de un cerdo

**a) Plantear la función del importe de la venta en base al número de días transcurridos.** Definimos la variable $t$ como el número de días transcurridos desde el momento actual ($t \ge 0$). Para hallar el importe total de la venta, necesitamos expresar el peso del cerdo y el precio por kilo en función de $t$: 1. **Peso del cerdo ($P$):** Empieza con $150\text{ kg}$ y aumenta $3\text{ kg}$ cada día. $$P(t) = 150 + 3t$$ 2. **Precio por kilo ($V$):** Empieza con $120\text{ u.m./kg}$ y disminuye $2\text{ u.m.}$ cada día. $$V(t) = 120 - 2t$$ El importe de la venta $I(t)$ es el producto del peso por el precio por kilo: $$I(t) = P(t) \cdot V(t) = (150 + 3t)(120 - 2t)$$ Multiplicamos los binomios: $$I(t) = 150 \cdot 120 - 150 \cdot 2t + 3t \cdot 120 - 3t \cdot 2t$$ $$I(t) = 18000 - 300t + 360t - 6t^2$$ $$I(t) = -6t^2 + 60t + 18000$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el importe total siempre es $(\text{cantidad}) \cdot (\text{precio unitario})$. Asegúrate de que ambas expresiones dependan de la misma variable $t$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{I(t) = -6t^2 + 60t + 18000}$$

**b) ¿En cuánto venderá el cerdo si espera 14 días?** Para responder a esta pregunta, simplemente debemos evaluar la función de importe $I(t)$ obtenida en el apartado anterior para $t = 14$: $$I(14) = -6(14)^2 + 60(14) + 18000$$ Realizamos las operaciones paso a paso: 1. Cuadrado de 14: $14^2 = 196$ 2. Multiplicación: $-6 \cdot 196 = -1176$ 3. Multiplicación: $60 \cdot 14 = 840$ Sustituimos: $$I(14) = -1176 + 840 + 18000$$ $$I(14) = -336 + 18000 = 17664$$ 💡 **Tip:** Siempre es recomendable comprobar si el resultado tiene sentido físico. En este caso, el importe es ligeramente menor que el inicial ($18000$), lo cual es coherente dado que el precio está bajando. ✅ **Resultado:** $$\boxed{17664\text{ u.m.}}$$

**c) ¿Cuánto tiempo deberá esperar el granjero para vender el cerdo, con objeto de obtener el máximo beneficio?** Para maximizar el beneficio, no basta con mirar el importe de la venta, debemos restar los gastos de alimentación. El gasto total por alimentación tras $t$ días es: $$G(t) = 36t$$ La función de beneficio $B(t)$ será el importe de la venta menos los gastos: $$B(t) = I(t) - G(t)$$ $$B(t) = (-6t^2 + 60t + 18000) - 36t$$ $$B(t) = -6t^2 + 24t + 18000$$ 💡 **Tip:** No confundas el importe de la venta (ingresos) con el beneficio (ingresos - gastos). El enunciado pide maximizar el beneficio. $$\boxed{B(t) = -6t^2 + 24t + 18000}$$

Para encontrar el máximo de la función de beneficio, calculamos su derivada con respecto al tiempo $t$ e igualamos a cero: $$B'(t) = \frac{d}{dt}(-6t^2 + 24t + 18000)$$ $$B'(t) = -12t + 24$$ Igualamos la derivada a cero para hallar los puntos críticos: $$-12t + 24 = 0 \implies 12t = 24 \implies t = \frac{24}{12} = 2$$ El punto crítico se encuentra en **$t = 2$ días**. 💡 **Tip:** El valor donde la pendiente de la función es cero indica un posible máximo o mínimo relativo.

Debemos confirmar que en $t = 2$ existe un máximo. Podemos usar el criterio de la segunda derivada: $$B''(t) = -12$$ Como $B''(2) = -12 \lt 0$, por el criterio de la segunda derivada, la función presenta un **máximo relativo** en $t = 2$. También podemos observar el crecimiento y decrecimiento mediante una tabla de signos para $B'(t)$: $$\begin{array}{c|ccc} t & [0, 2) & 2 & (2, +\infty) \\ \hline B'(t) = -12t + 24 & + & 0 & - \\ \hline B(t) & \text{Creciente } \nearrow & \text{Máximo} & \text{Decreciente } \searrow \end{array}$$ Como la función crece antes de $t=2$ y decrece después, el máximo es absoluto para $t \ge 0$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Deberá esperar 2 días}}$$