Álgebra 2010 Canarias
Optimización de la producción mediante programación lineal
4.- Una factoría fabrica dos tipos de artículos A y B. Para su elaboración se requieren dos máquinas M1 y M2. El artículo A necesita 1 hora de la máquina M1 y 2 horas de la máquina M2. El artículo B necesita 1 hora de cada una de las máquinas. Las máquinas M1 y M2 están en funcionamiento a lo sumo 40 y 50 horas a la semana, respectivamente. Hay que fabricar al menos 2 unidades de B. Por cada unidad del artículo A se obtiene un beneficio de 200€. Por cada unidad de B el beneficio es de 90€.
a) ¿Cuántas unidades de A y B deben fabricarse semanalmente para obtener el máximo beneficio?
b) Para obtener el máximo beneficio, ¿las dos máquinas han trabajado el máximo de horas semanales?
Paso 1
Definición de variables y función objetivo
**a) ¿Cuántas unidades de A y B deben fabricarse semanalmente para obtener el máximo beneficio?**
Primero, definimos las variables de decisión del problema:
- $x$: número de unidades del artículo A fabricadas semanalmente.
- $y$: número de unidades del artículo B fabricadas semanalmente.
La función que queremos maximizar es el beneficio total ($B$), que depende del beneficio por unidad de cada artículo:
$$B(x, y) = 200x + 90y$$
💡 **Tip:** Identifica siempre las variables de decisión (lo que te preguntan) y la función objetivo (lo que quieres maximizar o minimizar) antes de plantear las restricciones.
Paso 2
Planteamiento de las restricciones
Tratamos la información del enunciado para obtener las inecuaciones que limitan nuestra producción:
1. **Máquina M1:** El artículo A usa 1h y el B usa 1h. El tiempo total no puede superar las 40h.
$$1x + 1y \le 40 \implies x + y \le 40$$
2. **Máquina M2:** El artículo A usa 2h y el B usa 1h. El tiempo total no puede superar las 50h.
$$2x + 1y \le 50 \implies 2x + y \le 50$$
3. **Producción mínima de B:** Al menos 2 unidades de B.
$$y \ge 2$$
4. **No negatividad:** No se pueden fabricar cantidades negativas.
$$x \ge 0$$
💡 **Tip:** La expresión "a lo sumo" significa que el valor debe ser menor o igual ($\le$), mientras que "al menos" significa que debe ser mayor o igual ($\ge$).
Paso 3
Representación de la región factible
Para hallar la región factible, dibujamos las rectas asociadas a las restricciones:
- $r_1: x + y = 40$. Puntos: $(0, 40)$ y $(40, 0)$.
- $r_2: 2x + y = 50$. Puntos: $(0, 50)$ y $(25, 0)$.
- $r_3: y = 2$. Recta horizontal.
- $r_4: x = 0$. Eje de ordenadas.
La región factible es el polígono que cumple todas las inecuaciones simultáneamente.
"interactive": {
"kind": "desmos",
"data": {
"expressions": [
{
"id": "r1",
"latex": "x + y = 40",
"color": "#2563eb"
},
{
"id": "r2",
"latex": "2x + y = 50",
"color": "#ef4444"
},
{
"id": "r3",
"latex": "y = 2",
"color": "#16a34a"
},
{
"id": "region",
"latex": "0 \\le x \\left\\{ y \\ge 2 \\right\\} \\left\\{ x+y \\le 40 \\right\\} \\left\\{ 2x+y \\le 50 \\right\\}",
"color": "#93c5fd"
}
],
"bounds": {
"left": -5,
"right": 50,
"bottom": -5,
"top": 60
}
}
}
Paso 4
Cálculo de los vértices de la región factible
Los vértices se obtienen mediante la intersección de las rectas:
1. **Vértice A ($x=0$ e $y=2$):**
Punto $\boxed{A(0, 2)}$
2. **Vértice B ($x=0$ e $x+y=40$):**
Si $x=0 \implies y=40$. Punto $\boxed{B(0, 40)}$
3. **Vértice C ($x+y=40$ y $2x+y=50$):**
Restamos las ecuaciones:
$(2x + y) - (x + y) = 50 - 40 \implies x = 10$
Sustituyendo: $10 + y = 40 \implies y = 30$. Punto $\boxed{C(10, 30)}$
4. **Vértice D ($2x+y=50$ e $y=2$):**
$2x + 2 = 50 \implies 2x = 48 \implies x = 24$. Punto $\boxed{D(24, 2)}$
Paso 5
Evaluación de la función objetivo y solución final
Evaluamos el beneficio $B(x, y) = 200x + 90y$ en cada vértice:
- $B(A) = 200(0) + 90(2) = 180€$
- $B(B) = 200(0) + 90(40) = 3600€$
- $B(C) = 200(10) + 90(30) = 2000 + 2700 = 4700€$
- $B(D) = 200(24) + 90(2) = 4800 + 180 = 4980€$
Comparando los resultados, el beneficio máximo es de **4980€**.
✅ **Resultado del apartado a):**
$$\boxed{\text{Deben fabricarse 24 unidades de A y 2 unidades de B para obtener el máximo beneficio.}}$$
Paso 6
Análisis del uso de las máquinas
**b) Para obtener el máximo beneficio, ¿las dos máquinas han trabajado el máximo de horas semanales?**
Para comprobarlo, evaluamos las horas consumidas en el punto óptimo $(x=24, y=2)$ en las restricciones de cada máquina:
- **Máquina M1:**
$x + y = 24 + 2 = 26$ horas.
Como el máximo era 40 horas, la máquina M1 **no ha trabajado al máximo** (le sobran $40 - 26 = 14$ horas).
- **Máquina M2:**
$2x + y = 2(24) + 2 = 48 + 2 = 50$ horas.
Como el límite era de 50 horas, la máquina M2 **sí ha trabajado al máximo**.
✅ **Resultado del apartado b):**
$$\boxed{\text{No, solo la máquina M2 ha trabajado el máximo de horas permitidas.}}$$