Operaciones con matrices y ecuaciones matriciales

**a) (1 punto) Calcule $A^2 - B \cdot C^t$.** En primer lugar, calculamos $A^2$ multiplicando la matriz $A$ por sí misma: $$A^2 = A \cdot A = \begin{pmatrix} 2 & -5 \\ 1 & -3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 & -5 \\ 1 & -3 \end{pmatrix}$$ Realizamos el producto fila por columna: - Elemento (1,1): $2 \cdot 2 + (-5) \cdot 1 = 4 - 5 = -1$ - Elemento (1,2): $2 \cdot (-5) + (-5) \cdot (-3) = -10 + 15 = 5$ - Elemento (2,1): $1 \cdot 2 + (-3) \cdot 1 = 2 - 3 = -1$ - Elemento (2,2): $1 \cdot (-5) + (-3) \cdot (-3) = -5 + 9 = 4$ Por tanto: $$A^2 = \begin{pmatrix} -1 & 5 \\ -1 & 4 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $A^2$ no es elevar cada elemento al cuadrado, sino multiplicar la matriz por sí misma: $A \cdot A$.

Ahora calculamos la traspuesta de $C$, denotada como $C^t$, intercambiando sus filas por columnas: $$C = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ -1 & 5 & 3 \end{pmatrix} \implies C^t = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 5 \\ 3 & 3 \end{pmatrix}$$ A continuación, calculamos el producto $B \cdot C^t$: $$B \cdot C^t = \begin{pmatrix} 3 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 5 \\ 3 & 3 \end{pmatrix}$$ Realizamos las operaciones: - Fila 1: $(3)(1) + (-1)(2) + (2)(3) = 3 - 2 + 6 = 7$ $(3)(-1) + (-1)(5) + (2)(3) = -3 - 5 + 6 = -2$ - Fila 2: $(0)(1) + (1)(2) + (1)(3) = 0 + 2 + 3 = 5$ $(0)(-1) + (1)(5) + (1)(3) = 0 + 5 + 3 = 8$ Resultando: $$B \cdot C^t = \begin{pmatrix} 7 & -2 \\ 5 & 8 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Para multiplicar matrices $M \cdot N$, el número de columnas de $M$ debe coincidir con el número de filas de $N$.

Finalmente, restamos los resultados obtenidos en los pasos anteriores: $$A^2 - B \cdot C^t = \begin{pmatrix} -1 & 5 \\ -1 & 4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 7 & -2 \\ 5 & 8 \end{pmatrix}$$ Efectuamos la resta elemento a elemento: $$\begin{pmatrix} -1-7 & 5-(-2) \\ -1-5 & 4-8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -8 & 7 \\ -6 & -4 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{A^2 - B \cdot C^t = \begin{pmatrix} -8 & 7 \\ -6 & -4 \end{pmatrix}}$$

**b) (1.5 puntos) Resuelva la ecuación matricial $A \cdot X + B = 2 \cdot C$.** Primero aislamos el término que contiene a $X$ restando $B$ en ambos lados: $$A \cdot X = 2 \cdot C - B$$ Para despejar $X$, debemos multiplicar por la izquierda por la matriz inversa $A^{-1}$ (siempre que exista): $$A^{-1} \cdot (A \cdot X) = A^{-1} \cdot (2 \cdot C - B)$$ $$X = A^{-1} \cdot (2 \cdot C - B)$$ 💡 **Tip:** En ecuaciones matriciales, el orden importa. Si $A$ está a la izquierda de $X$, su inversa $A^{-1}$ debe aparecer a la izquierda del otro lado de la igualdad.

Calculamos la parte derecha de la ecuación, que llamaremos matriz $D$: $$D = 2 \cdot \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ -1 & 5 & 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$ $$D = \begin{pmatrix} 2 & 4 & 6 \\ -2 & 10 & 6 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$ $$D = \begin{pmatrix} 2-3 & 4-(-1) & 6-2 \\ -2-0 & 10-1 & 6-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 5 & 4 \\ -2 & 9 & 5 \end{pmatrix}$$ Ahora la ecuación es $A \cdot X = D$.

Para hallar $A^{-1}$, primero calculamos el determinante de $A$: $$|A| = \begin{vmatrix} 2 & -5 \\ 1 & -3 \end{vmatrix} = (2)(-3) - (-5)(1) = -6 + 5 = -1$$ Como $|A| \neq 0$, la matriz es invertible. Calculamos la matriz adjunta de $A$: $$Adj(A) = \begin{pmatrix} -3 & -1 \\ 5 & 2 \end{pmatrix}$$ Transponemos la adjunta: $$(Adj(A))^t = \begin{pmatrix} -3 & 5 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$$ Finalmente, aplicamos la fórmula $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \cdot (Adj(A))^t$: $$A^{-1} = \frac{1}{-1} \cdot \begin{pmatrix} -3 & 5 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & -5 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Para una matriz $2 \times 2$, $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$, la inversa es $\frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$.

Calculamos el producto final $X = A^{-1} \cdot D$: $$X = \begin{pmatrix} 3 & -5 \\ 1 & -2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -1 & 5 & 4 \\ -2 & 9 & 5 \end{pmatrix}$$ Operamos fila por columna: - Fila 1: $(3)(-1) + (-5)(-2) = -3 + 10 = 7$ $(3)(5) + (-5)(9) = 15 - 45 = -30$ $(3)(4) + (-5)(5) = 12 - 25 = -13$ - Fila 2: $(1)(-1) + (-2)(-2) = -1 + 4 = 3$ $(1)(5) + (-2)(9) = 5 - 18 = -13$ $(1)(4) + (-2)(5) = 4 - 10 = -6$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} 7 & -30 & -13 \\ 3 & -13 & -6 \end{pmatrix}}$$