Cálculo de derivadas y determinación de parámetros en una función

**a) (1 punto) Calcule la función derivada de $f(x) = \frac{e^{-2x}}{(-x^2 + 2)^2}$.** La función es un cociente de dos funciones, por lo que debemos aplicar la **regla del cociente**: $$\left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u' \cdot v - u \cdot v'}{v^2}$$ Donde identificamos: - $u = e^{-2x} \implies u' = e^{-2x} \cdot (-2) = -2e^{-2x}$ (aplicando la regla de la cadena). - $v = (-x^2 + 2)^2 \implies v' = 2(-x^2 + 2)^1 \cdot (-2x) = -4x(-x^2 + 2)$ (aplicando la regla de la potencia y la cadena). 💡 **Tip:** Recuerda que la derivada de $e^{g(x)}$ es $e^{g(x)} \cdot g'(x)$ y la derivada de $[g(x)]^n$ es $n \cdot [g(x)]^{n-1} \cdot g'(x)$.

Sustituimos $u, u', v, v'$ en la fórmula del cociente: $$f'(x) = \frac{-2e^{-2x} \cdot (-x^2 + 2)^2 - e^{-2x} \cdot [-4x(-x^2 + 2)]}{((-x^2 + 2)^2)^2}$$ Para simplificar, observamos que podemos extraer factor común $e^{-2x}$ y el paréntesis $(-x^2 + 2)$ en el numerador: $$f'(x) = \frac{e^{-2x} \cdot (-x^2 + 2) \cdot [ -2(-x^2 + 2) + 4x ]}{(-x^2 + 2)^4}$$ Simplificamos un factor $(-x^2 + 2)$ del numerador con uno del denominador: $$f'(x) = \frac{e^{-2x} \cdot (2x^2 - 4 + 4x)}{(-x^2 + 2)^3}$$ $$f'(x) = \frac{e^{-2x} \cdot (2x^2 + 4x - 4)}{(-x^2 + 2)^3}$$ ✅ **Resultado final del apartado a):** $$\boxed{f'(x) = \frac{2e^{-2x}(x^2 + 2x - 2)}{(-x^2 + 2)^3}}$$

**b) (1.5 puntos) Se sabe que la expresión que representa el número medio de clientes $N(t) = a \cdot t^2 + b \cdot t, 0 \le t \le 8, a, b \in \mathbb{R}$. Sabiendo que el máximo es de 160 clientes a las 4 horas, calcule $a$ y $b$.** El enunciado nos da dos informaciones clave sobre el punto de máximo $(t, N(t)) = (4, 160)$: 1. **Pasa por el punto:** En $t = 4$, el valor de la función es 160. Por tanto, $N(4) = 160$. 2. **Es un extremo (máximo):** En un máximo relativo (y siendo la función derivable), la derivada debe ser cero. Por tanto, $N'(4) = 0$. Calculamos primero la derivada de $N(t)$: $$N'(t) = 2at + b$$ 💡 **Tip:** En problemas de parámetros, cada dato suele traducirse en una ecuación. Si tenemos dos incógnitas ($a$ y $b$), necesitamos dos ecuaciones.

Aplicamos las condiciones anteriores para obtener el sistema: 1) De $N(4) = 160$: $$a(4)^2 + b(4) = 160 \implies 16a + 4b = 160$$ Podemos simplificar dividiendo entre 4: $4a + b = 40$. 2) De $N'(4) = 0$: $$2a(4) + b = 0 \implies 8a + b = 0$$ Ahora resolvemos el sistema: $$\begin{cases} 4a + b = 40 \\ 8a + b = 0 \end{cases}$$ Restamos la segunda ecuación menos la primera: $$(8a - 4a) + (b - b) = 0 - 40$$ $$4a = -40 \implies a = -10$$ Sustituimos $a = -10$ en la segunda ecuación: $$8(-10) + b = 0 \implies -80 + b = 0 \implies b = 80$$ Verificamos que $a$ sea negativo ($a = -10 \lt 0$), lo cual es coherente con que la parábola tenga un máximo (ramas hacia abajo). ✅ **Resultado final del apartado b):** $$\boxed{a = -10, \quad b = 80}$$