Probabilidad y Estadística 2011 Andalucia
Probabilidad condicionada y teorema de Bayes en experimentos dependientes
EJERCICIO 3
En una primera bolsa se han colocado 4 bolas blancas y 3 negras, y en una segunda bolsa 3 blancas y 5 negras. Se saca una bola de la primera y, sin verla, se introduce en la segunda. A continuación se saca una bola de la segunda. Halle la probabilidad de que:
a) (1.25 puntos) La bola extraída de la segunda bolsa sea negra.
b) (1.25 puntos) La bola extraída de la primera bolsa sea negra, si sabemos que la bola extraída de la segunda ha sido blanca.
Paso 1
Definición de sucesos y construcción del árbol de probabilidad
**a) (1.25 puntos) La bola extraída de la segunda bolsa sea negra.**
Primero, definimos los sucesos que intervienen en el experimento:
- $B_1$: Sacar bola blanca de la primera bolsa.
- $N_1$: Sacar bola negra de la primera bolsa.
- $B_2$: Sacar bola blanca de la segunda bolsa.
- $N_2$: Sacar bola negra de la segunda bolsa.
Analizamos la composición de las bolsas:
- **Bolsa 1**: 4 blancas, 3 negras (Total: 7 bolas).
- **Bolsa 2 (inicial)**: 3 blancas, 5 negras (Total: 8 bolas).
Al pasar una bola de la primera a la segunda, la composición de la segunda bolsa cambia dependiendo de qué bola hayamos pasado. Representamos esto en un árbol de probabilidades:
💡 **Tip:** Al pasar una bola a la segunda bolsa, el total de esta pasa de 8 a 9 bolas.
Paso 2
Cálculo de la probabilidad de que la segunda bola sea negra
Para hallar $P(N_2)$ aplicamos el **Teorema de la Probabilidad Total**. Este suceso puede ocurrir de dos formas: que la primera fuera blanca y la segunda negra, o que ambas fueran negras.
$$P(N_2) = P(B_1) \cdot P(N_2 | B_1) + P(N_1) \cdot P(N_2 | N_1)$$
Sustituimos los valores obtenidos en el árbol:
$$P(N_2) = \left( \frac{4}{7} \cdot \frac{5}{9} \right) + \left( \frac{3}{7} \cdot \frac{6}{9} \right)$$
$$P(N_2) = \frac{20}{63} + \frac{18}{63} = \frac{38}{63}$$
Calculando el valor decimal:
$$P(N_2) \approx 0.6032$$
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(N_2) = \frac{38}{63} \approx 0.6032}$$
Paso 3
Cálculo de la probabilidad condicionada (Teorema de Bayes)
**b) (1.25 puntos) La bola extraída de la primera bolsa sea negra, si sabemos que la bola extraída de la segunda ha sido blanca.**
Se nos pide calcular una probabilidad a posteriori, es decir, sabiendo el resultado final ($B_2$), queremos saber la probabilidad de un suceso inicial ($N_1$). Esto se resuelve mediante el **Teorema de Bayes**:
$$P(N_1 | B_2) = \frac{P(N_1 \cap B_2)}{P(B_2)}$$
Primero necesitamos $P(B_2)$. Como sabemos que $P(B_2) + P(N_2) = 1$:
$$P(B_2) = 1 - P(N_2) = 1 - \frac{38}{63} = \frac{25}{63}$$
Ahora calculamos la intersección $P(N_1 \cap B_2)$:
$$P(N_1 \cap B_2) = P(N_1) \cdot P(B_2 | N_1) = \frac{3}{7} \cdot \frac{3}{9} = \frac{9}{63}$$
Finalmente, aplicamos Bayes:
$$P(N_1 | B_2) = \frac{9/63}{25/63} = \frac{9}{25}$$
En formato decimal:
$$P(N_1 | B_2) = 0.36$$
💡 **Tip:** Recuerda que $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$. El denominador siempre es la probabilidad del suceso que ya sabemos que ha ocurrido.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(N_1 | B_2) = \frac{9}{25} = 0.36}$$