Contraste de hipótesis para la media

**a) (0.5 puntos) Plantee un contraste de hipótesis unilateral para comprobar si con los datos de esa muestra es posible afirmar que la media de la longitud de las piezas fabricadas por la máquina es de más de 10 cm.** En un contraste de hipótesis, la **hipótesis nula ($H_0$)** suele representar el estado de normalidad o la afirmación que queremos refutar, mientras que la **hipótesis alternativa ($H_1$)** es la sospecha o lo que queremos probar. El enunciado nos pide comprobar si la media es de **más de 10 cm**. Por tanto: - Hipótesis nula ($H_0$): La media es menor o igual a 10 cm (la máquina funciona correctamente). - Hipótesis alternativa ($H_1$): La media es mayor que 10 cm (sospecha de fallo). Matemáticamente: $$H_0: \mu \le 10$$ $$H_1: \mu \gt 10$$ Como la desigualdad en $H_1$ apunta en una sola dirección ($"\gt"$), se trata de un **contraste unilateral a la derecha**. 💡 **Tip:** Recuerda que $H_1$ siempre lleva el signo de la desigualdad estricta ($\lt, \gt, \neq$) y es la que determina si el contraste es unilateral o bilateral. $$\boxed{H_0: \mu \le 10; \quad H_1: \mu \gt 10}$$

**b) (1 punto) Determine la región de aceptación de la hipótesis nula de ese contraste para un nivel de significación $\alpha = 0.025$.** Primero, extraemos los datos del problema: - Longitud de las piezas ($X$): $X \sim N(\mu, 0.2)$. - Tamaño de la muestra: $n = 1000$. - Media de la muestra: $\bar{x} = 10.0037$. - Desviación típica poblacional: $\sigma = 0.2$. - Nivel de significación: $\alpha = 0.025$. La distribución de las medias muestrales ($\bar{X}$) sigue una Normal: $$\bar{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$$ Bajo la hipótesis nula (asumiendo $\mu = 10$): $$\bar{X} \sim N\left(10, \frac{0.2}{\sqrt{1000}}\right)$$ Calculamos la desviación típica de la media: $$\sigma_{\bar{x}} = \frac{0.2}{\sqrt{1000}} = \frac{0.2}{31.6228} \approx 0.0063246$$ 💡 **Tip:** En muestras grandes ($n \gt 30$), por el Teorema Central del Límite, la media muestral siempre se distribuye normalmente.

Para un contraste unilateral a la derecha con $\alpha = 0.025$, buscamos el valor crítico $z_{\alpha}$ tal que la probabilidad a su derecha sea $0.025$. Esto equivale a buscar en la tabla de la Normal $N(0,1)$ el valor cuya probabilidad acumulada sea: $$1 - \alpha = 1 - 0.025 = 0.975.$$ Buscando $0.975$ en la tabla $Z$: $$P(Z \le z_{\alpha}) = 0.975 \implies z_{\alpha} = 1.96.$$ La región de aceptación para la media muestral $\bar{x}$ está delimitada por: $$\text{R.A.} = (-\infty, \mu_0 + z_{\alpha} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}})$$ Sustituimos los valores: $$\text{Límite} = 10 + 1.96 \cdot 0.0063246 = 10 + 0.012396 = 10.012396.$$ Por tanto, la región de aceptación es el intervalo de valores donde no rechazamos $H_0$. 💡 **Tip:** En un contraste unilateral a la derecha, la región de rechazo es el extremo derecho de la campana de Gauss. $$\boxed{\text{Región de aceptación: } (-\infty, 10.0124)}$$

**c) (1 punto) Con los datos de la muestra y usando el contraste de hipótesis del primer apartado, ¿qué conclusión se obtendría sobre la longitud media de las piezas fabricadas?** Debemos comprobar si la media obtenida en la muestra, $\bar{x} = 10.0037$, cae dentro de la región de aceptación calculada en el paso anterior. Observamos que: $$10.0037 \lt 10.0124$$ Como el valor de la muestra **pertenece a la región de aceptación**, no tenemos pruebas estadísticas suficientes para rechazar la hipótesis nula $H_0$ con un nivel de confianza del $97.5\%$. Conclusión: No es posible afirmar que la media de la longitud de las piezas sea de más de 10 cm. Los datos son compatibles con el hecho de que la máquina fabrica piezas de, a lo sumo, 10 cm. 💡 **Tip:** Si el valor muestral hubiera sido superior a $10.0124$, habríamos rechazado $H_0$ a favor de $H_1$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Se acepta } H_0. \text{ No hay evidencia para afirmar que la media sea mayor de 10 cm.}}$$