Programación lineal: Región factible y optimización

**a) (0.5 puntos) Razone si el punto de coordenadas (4.1, 11.7) pertenece al recinto.** Para que un punto pertenezca al recinto, debe cumplir simultáneamente todas las inecuaciones del sistema. Vamos a comprobar el punto $P(4.1, 11.7)$ en cada una: 1. $x + y \leq 20$: $4.1 + 11.7 = 15.8$. Como $15.8 \leq 20$, se cumple. 2. $3x + 5y \leq 70$: $3(4.1) + 5(11.7) = 12.3 + 58.5 = 70.8$. Como $70.8 \gt 70$, **no se cumple**. 3. $x \geq 0$: $4.1 \geq 0$, se cumple. 4. $y \geq 0$: $11.7 \geq 0$, se cumple. Como el punto no satisface la segunda inecuación, podemos concluir que el punto no pertenece al recinto. 💡 **Tip:** No olvides que basta con que falle una sola inecuación para que el punto quede fuera de la región factible. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{El punto (4.1, 11.7) no pertenece al recinto}}$$

**b) (1.25 puntos) Represente dicho recinto y calcule sus vértices.** Primero, calculamos los puntos de corte de las rectas que delimitan el recinto para hallar los vértices: - **Vértice O (Origen):** Intersección de $x=0$ y $y=0$. Es el punto **$(0,0)$**. - **Vértice A (Eje X):** Intersección de $y=0$ con las restricciones: $x + 0 = 20 \Rightarrow x = 20$ $3x + 5(0) = 70 \Rightarrow x = 70/3 \approx 23.33$ Tomamos el valor más restrictivo (el menor para $\leq$): **$A(20, 0)$**. - **Vértice D (Eje Y):** Intersección de $x=0$ con las restricciones: $0 + y = 20 \Rightarrow y = 20$ $3(0) + 5y = 70 \Rightarrow y = 14$ Tomamos el valor más restrictivo: **$D(0, 14)$**. - **Vértice B (Intersección de las dos rectas principales):** Resolviendo el sistema: $$\begin{cases} x + y = 20 \\ 3x + 5y = 70 \end{cases}$$ De la primera, $x = 20 - y$. Sustituimos en la segunda: $3(20 - y) + 5y = 70 \Rightarrow 60 - 3y + 5y = 70 \Rightarrow 2y = 10 \Rightarrow y = 5$. Sustituyendo $y$: $x = 20 - 5 = 15$. El vértice es **$B(15, 5)$**. ✅ **Vértices:** $$\boxed{O(0,0), A(20,0), B(15,5), D(0,14)}$$

Para representar el recinto, dibujamos las rectas y sombreamos la región común que cumple todas las desigualdades (el primer cuadrante por $x, y \geq 0$, y por debajo de las rectas).

**c) (0.75 puntos) ¿Dónde alcanzará la función $F(x, y) = 0.6x + y$ sus valores extremos y cuáles serán éstos?** Según el teorema fundamental de la programación lineal, los valores óptimos se encuentran en los vértices del recinto. Evaluamos $F(x, y) = 0.6x + y$ en cada uno: - $F(0, 0) = 0.6(0) + 0 = 0$ - $F(20, 0) = 0.6(20) + 0 = 12$ - $F(15, 5) = 0.6(15) + 5 = 9 + 5 = 14$ - $F(0, 14) = 0.6(0) + 14 = 14$ **Análisis del máximo:** Observamos que el valor máximo, 14, se alcanza en dos vértices adyacentes: $B(15, 5)$ y $D(0, 14)$. Esto ocurre porque la función objetivo es paralela a la recta $3x + 5y = 70$ (ya que $y = -0.6x + 14$ tiene la misma pendiente). Por tanto, el máximo se alcanza en **todos los puntos del segmento que une B y D**. **Análisis del mínimo:** El valor mínimo es 0 y se alcanza en el origen $O(0,0)$. 💡 **Tip:** Si el valor máximo se repite en dos vértices contiguos, cualquier punto sobre el segmento que los une también es una solución óptima. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\begin{aligned} \text{Mínimo: } 0 & \text{ en } (0,0) \\ \text{Máximo: } 14 & \text{ en el segmento } \overline{BD} \end{aligned}}$$