Estudio de beneficios: Ingresos y gastos

**a) (0.5 puntos) ¿Para qué valores de $t$, desde su entrada en funcionamiento, los ingresos coincidieron con los gastos?** Para que los ingresos coincidan con los gastos, debemos igualar las funciones $I(t)$ y $G(t)$: $$I(t) = G(t)$$ $$-2t^2 + 51t = t^2 - 3t + 96$$ Agrupamos todos los términos en un miembro para obtener una ecuación de segundo grado: $$-2t^2 - t^2 + 51t + 3t - 96 = 0$$ $$-3t^2 + 54t - 96 = 0$$ 💡 **Tip:** Podemos simplificar la ecuación dividiendo todos los términos por $-3$ para facilitar los cálculos: $$t^2 - 18t + 32 = 0$$

Aplicamos la fórmula general para resolver la ecuación $t^2 - 18t + 32 = 0$: $$t = \frac{-(-18) \pm \sqrt{(-18)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 32}}{2 \cdot 1}$$ $$t = \frac{18 \pm \sqrt{324 - 128}}{2}$$ $$t = \frac{18 \pm \sqrt{196}}{2} = \frac{18 \pm 14}{2}$$ Calculamos las dos posibles soluciones: 1. $t_1 = \dfrac{18 + 14}{2} = \dfrac{32}{2} = 16$ 2. $t_2 = \dfrac{18 - 14}{2} = \dfrac{4}{2} = 2$ Ambas soluciones se encuentran dentro del intervalo de tiempo dado $0 \le t \le 18$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{t = 2 \text{ años y } t = 16 \text{ años}}$$

**b) (1 punto) Determine la función que refleje los beneficios (ingresos menos gastos) en función de $t$ y represéntela gráficamente.** El beneficio $B(t)$ se define como la diferencia entre ingresos y gastos: $$B(t) = I(t) - G(t)$$ $$B(t) = (-2t^2 + 51t) - (t^2 - 3t + 96)$$ $$B(t) = -2t^2 + 51t - t^2 + 3t - 96$$ $$B(t) = -3t^2 + 54t - 96$$ ✅ **Resultado (función):** $$\boxed{B(t) = -3t^2 + 54t - 96, \quad 0 \le t \le 18}$$

La función de beneficio es una parábola cóncava (hacia abajo) ya que el coeficiente de $t^2$ es negativo ($-3$). - **Puntos de corte con el eje $t$ ($B(t)=0$):** Son los valores hallados en el apartado a: $t=2$ y $t=16$. - **Vértice:** El tiempo en el que se alcanza el máximo es $t_v = \dfrac{-b}{2a} = \dfrac{-54}{2(-3)} = 9$. - **Valor en el vértice:** $B(9) = -3(9)^2 + 54(9) - 96 = -243 + 486 - 96 = 147$. - **Puntos extremos del dominio:** - $B(0) = -96$ (pérdidas iniciales). - $B(18) = -3(18)^2 + 54(18) - 96 = -972 + 972 - 96 = -96$. Podemos ver la representación gráfica a continuación:

**c) (1 punto) ¿Al cabo de cuántos años, desde su entrada en funcionamiento, los beneficios fueron máximos? Calcule el valor de ese beneficio.** Para maximizar $B(t) = -3t^2 + 54t - 96$, calculamos su derivada y la igualamos a cero: $$B'(t) = -6t + 54$$ $$-6t + 54 = 0 \implies 6t = 54 \implies t = \frac{54}{6} = 9$$ Comprobamos que es un máximo usando la segunda derivada: $$B''(t) = -6$$ Como $B''(9) = -6 \lt 0$, confirmamos que en **$t = 9$ hay un máximo relativo**. Estudiamos el signo de la primera derivada para confirmar la monotonía: $$ \begin{array}{c|ccc} t & (0, 9) & 9 & (9, 18) \\ \hline B'(t) & + & 0 & - \\ \hline B(t) & \nearrow & \text{Máx} & \searrow \end{array} $$ Calculamos el valor del beneficio máximo sustituyendo $t = 9$ en la función original: $$B(9) = -3(9)^2 + 54(9) - 96 = 147$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Máximo a los 9 años con un beneficio de 147 mil euros}}$$