Probabilidad de errores en los capítulos de un libro

Para resolver este problema, lo primero que debemos hacer es definir los sucesos y organizar la información proporcionada. Definimos los sucesos relativos a la elección del capítulo: - $C_1$: La página elegida pertenece al primer capítulo. - $C_2$: La página elegida pertenece al segundo capítulo. - $C_3$: La página elegida pertenece al tercer capítulo. - $C_4$: La página elegida pertenece al cuarto capítulo. Y el suceso relativo a los errores: - $E$: La página tiene algún error. - $\bar{E}$: La página no tiene ningún error. Calculamos el número total de páginas del libro: $$N = 140 + 100 + 150 + 50 = 440 \text{ páginas}$$ Utilizando la regla de Laplace, calculamos las probabilidades de elegir una página de cada capítulo: - $P(C_1) = \dfrac{140}{440} = \dfrac{14}{44}$ - $P(C_2) = \dfrac{100}{440} = \dfrac{10}{44}$ - $P(C_3) = \dfrac{150}{440} = \dfrac{15}{44}$ - $P(C_4) = \dfrac{50}{440} = \dfrac{5}{44}$ Las probabilidades condicionadas (porcentajes de error) dadas son: - $P(E|C_1) = 0,05$ - $P(E|C_2) = 0,04$ - $P(E|C_3) = 0,02$ - $P(E|C_4) = 0$ (no tienen errores)

Para visualizar mejor el problema, representamos los datos en un diagrama de árbol:

**a) (1.25 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que, al elegir una página al azar, tenga algún error?** Para calcular la probabilidad total de que una página tenga un error, utilizamos el **Teorema de la Probabilidad Total**: $$P(E) = P(C_1) \cdot P(E|C_1) + P(C_2) \cdot P(E|C_2) + P(C_3) \cdot P(E|C_3) + P(C_4) \cdot P(E|C_4)$$ Sustituimos los valores conocidos: $$P(E) = \left(\dfrac{140}{440} \cdot 0,05\right) + \left(\dfrac{100}{440} \cdot 0,04\right) + \left(\dfrac{150}{440} \cdot 0,02\right) + \left(\dfrac{50}{440} \cdot 0\right)$$ Operamos con los numeradores: $$P(E) = \dfrac{140 \cdot 0,05 + 100 \cdot 0,04 + 150 \cdot 0,02 + 0}{440}$$ $$P(E) = \dfrac{7 + 4 + 3 + 0}{440} = \dfrac{14}{440}$$ Simplificando la fracción: $$P(E) = \dfrac{7}{220} \approx 0,0318$$ 💡 **Tip:** El Teorema de la Probabilidad Total se usa cuando un suceso puede ocurrir a través de varias vías excluyentes (en este caso, los 4 capítulos). ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(E) = \dfrac{7}{220} \approx 0,0318}$$

**b) (1.25 puntos) Supongamos que elegimos una página al azar y observamos que no tiene ningún error, ¿cuál es la probabilidad de que sea del segundo capítulo?** Se nos pide calcular $P(C_2|\bar{E})$. Aplicamos el **Teorema de Bayes**: $$P(C_2|\bar{E}) = \dfrac{P(C_2 \cap \bar{E})}{P(\bar{E})}$$ Primero, calculamos la probabilidad de que no tenga error, que es el suceso complementario al del apartado anterior: $$P(\bar{E}) = 1 - P(E) = 1 - \dfrac{14}{440} = \dfrac{426}{440}$$ Ahora calculamos la probabilidad de la intersección (que sea del capítulo 2 y no tenga error): $$P(C_2 \cap \bar{E}) = P(C_2) \cdot P(\bar{E}|C_2) = \dfrac{100}{440} \cdot (1 - 0,04) = \dfrac{100}{440} \cdot 0,96 = \dfrac{96}{440}$$ Sustituimos en la fórmula de Bayes: $$P(C_2|\bar{E}) = \dfrac{\dfrac{96}{440}}{\dfrac{426}{440}} = \dfrac{96}{426}$$ Simplificamos la fracción dividiendo entre 6: $$P(C_2|\bar{E}) = \dfrac{16}{71} \approx 0,2254$$ 💡 **Tip:** El Teorema de Bayes permite "invertir" la condicionalidad: sabemos el resultado final (sin error) y queremos saber la causa probable (capítulo 2). ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(C_2|\bar{E}) = \dfrac{16}{71} \approx 0,2254}$$