Muestreo estratificado e Inferencia estadística

**a) (1 punto) Una población de tamaño 1000 se ha dividido en 4 estratos de tamaño 150, 400, 250 y 200. Utilizando muestreo aleatorio estratificado con afijación proporcional se han seleccionado 10 individuos del tercer estrato, ¿cuál es el tamaño de la muestra?** En un muestreo aleatorio estratificado con **afijación proporcional**, el número de individuos seleccionados en cada estrato ($n_i$) debe ser proporcional al tamaño de dicho estrato ($N_i$) respecto al total de la población ($N$). Identificamos los datos conocidos: - Tamaño de la población: $N = 1000$ - Tamaño del tercer estrato: $N_3 = 250$ - Muestra del tercer estrato: $n_3 = 10$ - Tamaño de la muestra total: $n$ (incógnita) 💡 **Tip:** La regla de la afijación proporcional establece que la proporción en la muestra es igual a la proporción en la población: $\frac{n}{N} = \frac{n_i}{N_i}$.

Aplicamos la fórmula de la afijación proporcional para el tercer estrato: $$\frac{n}{N} = \frac{n_3}{N_3}$$ Sustituimos los valores conocidos: $$\frac{n}{1000} = \frac{10}{250}$$ Para despejar $n$, multiplicamos en cruz o pasamos el $1000$ multiplicando al otro lado: $$n = \frac{10 \cdot 1000}{250}$$ $$n = \frac{10000}{250} = 40$$ ✅ **Resultado (tamaño de la muestra):** $$\boxed{n = 40}$$

**b) (1.5 puntos) El peso de los individuos de una población se distribuye según una ley Normal de desviación típica 6 kg. Calcule el tamaño mínimo de la muestra para estimar, con un nivel de confianza del 95%, el peso medio en la población con un error no superior a 1 kg.** Extraemos los datos del enunciado para la distribución normal del peso: - Desviación típica poblacional: $\sigma = 6$ kg. - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0.95$. - Error máximo admitido: $E \le 1$ kg. 💡 **Tip:** El error en la estimación de la media viene dado por la fórmula $E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$.

Para un nivel de confianza del $95\%$, calculamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$: 1. $1 - \alpha = 0.95 \implies \alpha = 0.05$. 2. $\alpha/2 = 0.025$. 3. Buscamos el valor en la tabla de la normal estándar $Z \sim N(0,1)$ tal que: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - \frac{\alpha}{2} = 1 - 0.025 = 0.9750.$$ Mirando en la tabla de la distribución Normal, el valor que corresponde a una probabilidad de $0.9750$ es: $$z_{\alpha/2} = 1.96$$ 💡 **Tip:** Los valores críticos más comunes son $1.645$ (90%), $1.96$ (95%) y $2.575$ (99%).

Utilizamos la fórmula del error para despejar $n$: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \implies \sqrt{n} = \frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E}$$ Sustituimos los valores: $$\sqrt{n} = \frac{1.96 \cdot 6}{1} = 11.76$$ Elevamos al cuadrado para obtener $n$: $$n = (11.76)^2 = 138.2976$$ Como el tamaño de la muestra debe ser un número entero y el error debe ser **no superior** a 1, debemos redondear siempre al entero superior para asegurar que el error sea menor o igual al pedido. ✅ **Resultado (tamaño mínimo):** $$\boxed{n = 139}$$