Programación Lineal: Recinto, Vértices y Optimización

**a) (1.2 puntos) Represente gráficamente el recinto determinado por las siguientes inecuaciones $6x - y + 9 \geq 0, 2x + 5y - 13 \leq 0, 2x - 3y - 5 \leq 0$.** Para representar el recinto, primero convertimos las inecuaciones en igualdades para obtener las rectas que limitan la región: 1. $r_1: 6x - y + 9 = 0 \implies y = 6x + 9$ 2. $r_2: 2x + 5y - 13 = 0 \implies y = \frac{13 - 2x}{5}$ 3. $r_3: 2x - 3y - 5 = 0 \implies y = \frac{2x - 5}{3}$ Calculamos un par de puntos para cada recta: - Para $r_1$: Si $x=0, y=9$; si $x=-1, y=3$. - Para $r_2$: Si $x=-1, y=3$; si $x=4, y=1$. - Para $r_3$: Si $x=4, y=1$; si $x=1, y=-1$. 💡 **Tip:** Para saber qué lado de la recta cumple la inecuación, prueba con el punto $(0,0)$ si la recta no pasa por él. Por ejemplo, en $6x - y + 9 \geq 0$, sustituimos: $6(0) - 0 + 9 \geq 0 \implies 9 \geq 0$, que es **cierto**, por lo que la región incluye al origen.

A continuación, se muestra el recinto (región factible) sombreado, que resulta de la intersección de los tres semiplanos definidos por las inecuaciones.

**b) (0.9 puntos) Determine los vértices del recinto anterior.** Los vértices se obtienen resolviendo los sistemas de ecuaciones formados por las rectas que se cortan dos a dos: **Vértice A (Intersección de $r_1$ y $r_2$):** $$\begin{cases} 6x - y = -9 \\ 2x + 5y = 13 \end{cases}$$ De la primera, $y = 6x + 9$. Sustituimos en la segunda: $2x + 5(6x + 9) = 13 \implies 2x + 30x + 45 = 13 \implies 32x = -32 \implies x = -1$. $y = 6(-1) + 9 = 3$. Por tanto, $\mathbf{A(-1, 3)}$. **Vértice B (Intersección de $r_2$ y $r_3$):** $$\begin{cases} 2x + 5y = 13 \\ 2x - 3y = 5 \end{cases}$$ Restando ambas ecuaciones: $8y = 8 \implies y = 1$. Sustituyendo $y=1$ en la segunda: $2x - 3(1) = 5 \implies 2x = 8 \implies x = 4$. Por tanto, $\mathbf{B(4, 1)}$. **Vértice C (Intersección de $r_1$ y $r_3$):** $$\begin{cases} 6x - y = -9 \\ 2x - 3y = 5 \end{cases}$$ Multiplicamos la segunda por $-3$: $-6x + 9y = -15$. Sumamos con la primera: $8y = -24 \implies y = -3$. Sustituyendo $y=-3$ en la primera: $6x - (-3) = -9 \implies 6x = -12 \implies x = -2$. Por tanto, $\mathbf{C(-2, -3)}$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{A(-1, 3), \quad B(4, 1), \quad C(-2, -3)}$$

**c) (0.4 puntos) Halle los valores máximo y mínimo de la función $F(x, y) = 3x - 2y + 3$ en el recinto del primer apartado, y especifique en qué puntos los alcanza.** Para hallar el máximo y el mínimo en un recinto cerrado y acotado, evaluamos la función $F(x, y)$ en cada uno de sus vértices: - En $A(-1, 3)$: $F(-1, 3) = 3(-1) - 2(3) + 3 = -3 - 6 + 3 = -6$. - En $B(4, 1)$: $F(4, 1) = 3(4) - 2(1) + 3 = 12 - 2 + 3 = 13$. - En $C(-2, -3)$: $F(-2, -3) = 3(-2) - 2(-3) + 3 = -6 + 6 + 3 = 3$. 💡 **Tip:** El Teorema Fundamental de la Programación Lineal garantiza que el máximo y el mínimo de la función se encuentran en los vértices del recinto factible. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\begin{aligned} &\text{Máximo: } 13 \text{ en el punto } B(4, 1) \\ &\text{Mínimo: } -6 \text{ en el punto } A(-1, 3) \end{aligned}}$$