Estudio de función a trozos: continuidad, derivabilidad y extremos

**a) (1 punto) Estudie la continuidad y la derivabilidad de $f$.** Primero analizamos la continuidad en los puntos donde la función cambia de rama: $x=2$ y $x=4$. Para que sea continua, el límite por la izquierda, por la derecha y el valor de la función deben coincidir. **En $x=2$:** - $f(2) = \frac{4}{2} = 2$ - $\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} (-x + 4) = -2 + 4 = 2$ - $\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} \frac{4}{x} = \frac{4}{2} = 2$ Como $f(2) = \lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^+} f(x) = 2$, la función es **continua en $x=2$**. **En $x=4$:** - $f(4) = 4^2 - 4(4) + 1 = 16 - 16 + 1 = 1$ - $\lim_{x \to 4^-} f(x) = \lim_{x \to 4^-} \frac{4}{x} = \frac{4}{4} = 1$ - $\lim_{x \to 4^+} f(x) = \lim_{x \to 4^+} (x^2 - 4x + 1) = 4^2 - 4(4) + 1 = 1$ Como coinciden los tres valores, la función es **continua en $x=4$**. 💡 **Tip:** Antes de estudiar la derivabilidad, es obligatorio comprobar la continuidad. Si una función no es continua en un punto, automáticamente no es derivable en él. $$\boxed{\text{La función es continua en todo } \mathbb{R}}$$

Calculamos la derivada de la función en cada rama abierta: $$f'(x) = \begin{cases} -1 & \text{si } x \lt 2 \\ -\frac{4}{x^2} & \text{si } 2 \lt x \lt 4 \\ 2x - 4 & \text{si } x \gt 4 \end{cases}$$ Ahora estudiamos los límites laterales de la derivada en los puntos de salto entre ramas: **En $x=2$:** - $f'(2^-) = -1$ - $f'(2^+) = -\frac{4}{2^2} = -\frac{4}{4} = -1$ Como $f'(2^-) = f'(2^+)$, la función es **derivable en $x=2$**. **En $x=4$:** - $f'(4^-) = -\frac{4}{4^2} = -\frac{4}{16} = -0.25$ - $f'(4^+) = 2(4) - 4 = 8 - 4 = 4$ Como $f'(4^-) \neq f'(4^+)$, la función **no es derivable en $x=4$**. $$\boxed{\text{Derivable en } \mathbb{R} \setminus \{4\}}$$

**b) (0.5 puntos) Determine los extremos locales de $f$.** Los extremos locales pueden encontrarse donde $f'(x)=0$ o en los puntos donde la función no es derivable. 1. **Rama 1 ($x \lt 2$):** $f'(x) = -1 \neq 0$. No hay puntos críticos. 2. **Rama 2 ($2 \lt x \lt 4$):** $f'(x) = -\frac{4}{x^2} \neq 0$. No hay puntos críticos. 3. **Rama 3 ($x \gt 4$):** $f'(x) = 2x - 4 = 0 \implies x = 2$. Este valor no pertenece al intervalo $x \gt 4$, por lo que no es un extremo en esta rama. Analizamos el signo de $f'(x)$ alrededor de $x=4$ (punto donde no es derivable): $$\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty, 2) & (2, 4) & (4, +\infty) \\\hline f'(x) & - & - & + \\\hline \text{Monotonía} & \text{Decreciente} & \text{Decreciente} & \text{Creciente} \end{array}$$ En $x=4$, la función pasa de decrecer a crecer, por lo que hay un **mínimo local**. Calculamos su coordenada $y$: $f(4) = 1$. $$\boxed{\text{Mínimo local en } (4, 1)}$$

**c) (1 punto) Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa $x = 3$.** El punto $x=3$ se encuentra en la segunda rama: $f(x) = \frac{4}{x}$ para $2 \leq x \lt 4$. 1. **Punto de tangencia:** $$y_0 = f(3) = \frac{4}{3}$$ 2. **Pendiente de la tangente:** Usamos la derivada en esa rama: $f'(x) = -\frac{4}{x^2}$ $$m = f'(3) = -\frac{4}{3^2} = -\frac{4}{9}$$ 3. **Ecuación de la recta:** Utilizamos la fórmula punto-pendiente: $y - y_0 = m(x - x_0)$ $$y - \frac{4}{3} = -\frac{4}{9}(x - 3)$$ $$y = -\frac{4}{9}x + \frac{12}{9} + \frac{4}{3}$$ $$y = -\frac{4}{9}x + \frac{4}{3} + \frac{4}{3} = -\frac{4}{9}x + \frac{8}{3}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la ecuación de la recta tangente es $y - f(a) = f'(a)(x - a)$. $$\boxed{y = -\frac{4}{9}x + \frac{8}{3}}$$