Probabilidad de aprobar partes de un examen

En primer lugar, definimos los sucesos que intervienen en el problema y traducimos la información del enunciado a lenguaje probabilístico: - $T$: "Aprobar la parte teórica". - $P$: "Aprobar la parte práctica". Los datos proporcionados son: - $P(T) = 0.7$ - $P(P) = 0.75$ - $P(T \cap P) = 0.50$ (el 50% de los alumnos aprueba ambas). 💡 **Tip:** Recuerda que las probabilidades siempre deben estar comprendidas entre 0 y 1. Los porcentajes se dividen por 100 para obtener la probabilidad decimal.

Para visualizar mejor las relaciones entre los sucesos y facilitar el cálculo de probabilidades condicionadas, construimos una tabla de contingencia. Calculamos los valores restantes sabiendo que las sumas de las filas y columnas deben coincidir con los totales: - $P(T \cap \bar{P}) = P(T) - P(T \cap P) = 0.7 - 0.5 = 0.2$ - $P(\bar{T} \cap P) = P(P) - P(T \cap P) = 0.75 - 0.5 = 0.25$ - $P(\bar{T}) = 1 - P(T) = 0.3$ - $P(\bar{P}) = 1 - P(P) = 0.25$ - $P(\bar{T} \cap \bar{P}) = P(\bar{T}) - P(\bar{T} \cap P) = 0.3 - 0.25 = 0.05$ $$\begin{array}{c|cc|c} & P & \bar{P} & \text{Total} \\ \hline T & 0.50 & 0.20 & 0.70 \\ \bar{T} & 0.25 & 0.05 & 0.30 \\ \hline \text{Total} & 0.75 & 0.25 & 1.00 \end{array}$$

**a) (0.75 puntos) Calcule la probabilidad de aprobar alguna de las dos partes.** "Aprobar alguna de las dos partes" equivale a la unión de los sucesos, es decir, $P(T \cup P)$. Utilizamos la fórmula de la probabilidad de la unión de dos sucesos cualesquiera: $$P(T \cup P) = P(T) + P(P) - P(T \cap P)$$ Sustituimos los valores conocidos: $$P(T \cup P) = 0.7 + 0.75 - 0.50$$ $$P(T \cup P) = 1.45 - 0.50 = 0.95$$ 💡 **Tip:** La probabilidad de la unión se puede interpretar también como $1 - P(\text{no aprobar ninguna})$, que en nuestra tabla sería $1 - 0.05 = 0.95$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(T \cup P) = 0.95}$$

**b) (0.75 puntos) Calcule la probabilidad de aprobar la parte práctica sabiendo que no se ha aprobado la parte teórica.** Se nos pide calcular la probabilidad de $P$ condicionada a que ha ocurrido el suceso contrario de $T$ ($\bar{T}$). Usamos la definición de probabilidad condicionada: $$P(P | \bar{T}) = \frac{P(P \cap \bar{T})}{P(\bar{T})}$$ Consultamos los valores en nuestra tabla de contingencia: - $P(P \cap \bar{T}) = 0.25$ - $P(\bar{T}) = 0.30$ Calculamos el cociente: $$P(P | \bar{T}) = \frac{0.25}{0.30} = \frac{25}{30} = \frac{5}{6}$$ En formato decimal (aproximando a tres decimales): $$P(P | \bar{T}) \approx 0.833$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $P(A|B)$ se lee "probabilidad de A sabiendo que ha ocurrido B". El suceso que ya sabemos que ha ocurrido siempre va en el denominador. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(P | \bar{T}) = \frac{5}{6} \approx 0.833}$$

**c) (1 punto) ¿Son independientes los sucesos “aprobar parte teórica” y “aprobar parte práctica”?** Dos sucesos $A$ y $B$ son independientes si y solo si se cumple la condición: $$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$$ En nuestro caso, comprobamos si $P(T \cap P) = P(T) \cdot P(P)$: - Parte izquierda: $P(T \cap P) = 0.50$ - Parte derecha: $P(T) \cdot P(P) = 0.7 \cdot 0.75 = 0.525$ Comparamos los resultados: $$0.50 \neq 0.525$$ Como los valores no son iguales, los sucesos **no son independientes**. Es decir, el hecho de aprobar la parte teórica influye en la probabilidad de aprobar la práctica. 💡 **Tip:** Otra forma de comprobarlo es ver si $P(P|T) = P(P)$. En este caso $P(P|T) = 0.5/0.7 \approx 0.714$, que es distinto de $P(P)=0.75$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Los sucesos no son independientes}}$$