Inferencia Estadística: Contraste de hipótesis para la proporción

**a) (0.5 puntos) Formule la hipótesis nula y la alternativa del contraste de hipótesis que permite determinar si los datos de la encuesta realizada son compatibles con la afirmación del director.** En un contraste de hipótesis, la hipótesis nula ($H_0$) suele ser la afirmación que queremos contrastar (en este caso, la del director). La hipótesis alternativa ($H_1$) es la negación o lo opuesto a lo que se afirma. El director afirma que el programa será visto por "al menos" un 30%. Esto se traduce matemáticamente como una proporción $p \ge 0.30$. Las hipótesis quedarían definidas como: - **Hipótesis nula ($H_0$):** $p \ge 0.30$ (La afirmación del director es cierta). - **Hipótesis alternativa ($H_1$):** $p \lt 0.30$ (La audiencia es menor de lo afirmado). 💡 **Tip:** Recuerda que $H_0$ siempre debe contener el signo de igualdad ($=$, $\ge$ o $\le$). Como el contraste busca verificar si la proporción es menor que un valor, estamos ante un **contraste unilateral a la izquierda**. $$\boxed{H_0: p \ge 0.30; \quad H_1: p \lt 0.30}$$

**b) (1 punto) Halle la región crítica de ese contraste para un nivel de significación del 5.5%.** Para hallar la región crítica, primero identificamos los datos del problema: - Proporción poblacional bajo $H_0$: $p_0 = 0.30$. - Complemento: $q_0 = 1 - p_0 = 0.70$. - Tamaño de la muestra: $n = 500$. - Nivel de significación: $\alpha = 5.5\% = 0.055$. Como $n$ es suficientemente grande ($n p_0 > 5$ y $n q_0 > 5$), la proporción muestral $\hat{p}$ se aproxima a una distribución normal: $$\hat{p} \sim N\left(p_0, \sqrt{\frac{p_0 q_0}{n}}\right)$$ Calculamos la desviación típica de la proporción (error típico): $$\sigma_{\hat{p}} = \sqrt{\frac{0.30 \cdot 0.70}{500}} = \sqrt{\frac{0.21}{500}} = \sqrt{0.00042} \approx 0.0205$$ 💡 **Tip:** En los contrastes de proporciones, usamos los valores de $p_0$ de la hipótesis nula para calcular el error típico.

Al ser un contraste unilateral a la izquierda ($H_1: p \lt 0.30$), la región crítica está formada por los valores de $\hat{p}$ muy pequeños. Buscamos el valor crítico $z_{\alpha}$ tal que: $$P(Z \lt -z_{\alpha}) = \alpha = 0.055$$ Esto equivale a buscar en la tabla de la Normal $N(0,1)$ el valor cuya probabilidad acumulada sea $1 - 0.055 = 0.945$: $$P(Z \le z_{\alpha}) = 0.945$$ Buscando en las tablas de la distribución Normal: Para un valor de $0.945$, encontramos que $z_{\alpha} \approx 1.60$ (ya que para $z=1.60$, la probabilidad es $0.9452$). El límite de la región crítica para la proporción será: $$p_c = p_0 - z_{\alpha} \cdot \sigma_{\hat{p}}$$ $$p_c = 0.30 - 1.60 \cdot 0.0205 = 0.30 - 0.0328 = 0.2672$$ La región crítica ($RC$) son todos los valores menores que $0.2672$. ✅ **Resultado (Región Crítica):** $$\boxed{RC = (-\infty, 0.2672)}$$

**c) (1 punto) Según el dato obtenido en el apartado anterior ¿qué conclusión se obtiene sobre la afirmación realizada por el director de esa televisión?** Calculamos la proporción obtenida en la encuesta (proporción muestral $\hat{p}$): $$n = 500, \quad x = 130$$ $$\hat{p}_{encuesta} = \frac{130}{500} = 0.26$$ Ahora comparamos este valor con la región crítica obtenida en el apartado anterior: - Si $\hat{p} \in RC$, rechazamos $H_0$. - Si $\hat{p} \notin RC$, no podemos rechazar $H_0$. Como $0.26 \lt 0.2672$, el valor de la muestra **cae dentro de la región crítica**. **Conclusión:** A un nivel de significación del 5.5%, **se rechaza la hipótesis nula**. Por lo tanto, los datos de la encuesta no son compatibles con la afirmación del director; existen evidencias estadísticas suficientes para afirmar que la audiencia es menor del 30%. 💡 **Tip:** Siempre que el valor observado esté en la zona roja (Región Crítica), "castigamos" la afirmación inicial ($H_0$) rechazándola. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Se rechaza la afirmación del director}}$$