Álgebra 2011 Andalucia
Operaciones con matrices y aplicación económica
EJERCICIO 1
a) (1.5 puntos) Dadas las matrices $M = \begin{pmatrix} 0 & 3 & -1 \\ 1 & 0 & -2 \end{pmatrix}$ y $N^t = \begin{pmatrix} 2 & 3 & -1 \\ -1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$, razone cuáles de las siguientes operaciones tienen sentido y efectúe las que puedan realizarse:
$M + N^t, M^t \cdot N, M \cdot N$.
b) (1 punto) Un industrial cafetero produce dos tipos de café, natural y descafeinado, en tres modalidades cada uno, A, B y C. Se han anotado en la matriz $P$ los pesos, en kg, del café que el industrial produce de cada una de las modalidades de cada tipo, y en la matriz $Q$ los precios a los que vende el kg de cada producto final:
$$P : \begin{array}{rccc} & A & B & C \\ \text{natural} & (550 & 400 & 240) \\ \text{descafein.} & (260 & 200 & 100) \end{array} \quad Q: \begin{array}{rccc} & A & B & C \\ \text{natural} & (2.20 & 2.75 & 2.50) \\ \text{descafein.} & (3.20 & 3.90 & 3.60) \end{array}$$
Efectúe el producto $P \cdot Q^t$ y explique el significado económico de cada uno de los elementos de la diagonal principal de la matriz resultante.
Paso 1
Análisis y cálculo de la suma M + Nᵗ
**a) (1.5 puntos) Dadas las matrices $M = \begin{pmatrix} 0 & 3 & -1 \\ 1 & 0 & -2 \end{pmatrix}$ y $N^t = \begin{pmatrix} 2 & 3 & -1 \\ -1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$, razone cuáles de las siguientes operaciones tienen sentido y efectúe las que puedan realizarse: $M + N^t, M^t \cdot N, M \cdot N$.**
Para que dos matrices puedan sumarse, deben tener la misma dimensión.
- La matriz $M$ tiene dimensión $2 \times 3$ (2 filas y 3 columnas).
- La matriz $N^t$ tiene dimensión $2 \times 3$.
Como tienen la misma dimensión, la operación **$M + N^t$ tiene sentido**:
$$M + N^t = \begin{pmatrix} 0 & 3 & -1 \\ 1 & 0 & -2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 & 3 & -1 \\ -1 & 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0+2 & 3+3 & -1+(-1) \\ 1+(-1) & 0+1 & -2+0 \end{pmatrix}$$
$$\boxed{M + N^t = \begin{pmatrix} 2 & 6 & -2 \\ 0 & 1 & -2 \end{pmatrix}}$$
💡 **Tip:** La suma de matrices se realiza elemento a elemento: $c_{ij} = a_{ij} + b_{ij}$.
Paso 2
Análisis del producto Mᵗ · N
Para multiplicar dos matrices $A \cdot B$, el número de columnas de la primera ($A$) debe coincidir con el número de filas de la segunda ($B$).
Analicemos las dimensiones:
- Si $M$ es $2 \times 3$, entonces su traspuesta $M^t$ es **$3 \times 2$**.
- Si $N^t$ es $2 \times 3$, entonces la matriz original $N$ (que es la traspuesta de $N^t$) es **$3 \times 2$**.
Intentamos $M^t \cdot N$:
$$(3 \times 2) \cdot (3 \times 2)$$
Como el número de columnas de $M^t$ (2) no coincide con el número de filas de $N$ (3), la operación **$M^t \cdot N$ no tiene sentido**.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{\text{No se puede realizar } M^t \cdot N}$$
Paso 3
Análisis y cálculo del producto M · N
Analicemos las dimensiones para el producto $M \cdot N$:
- La matriz $M$ es **$2 \times 3$**.
- La matriz $N$ es **$3 \times 2$** (obtenida trasponiendo $N^t$).
$$N = (N^t)^t = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 3 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$$
El número de columnas de $M$ (3) coincide con el número de filas de $N$ (3), por lo que la operación **$M \cdot N$ tiene sentido** y resultará en una matriz de $2 \times 2$.
$$M \cdot N = \begin{pmatrix} 0 & 3 & -1 \\ 1 & 0 & -2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 3 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$$
Calculamos cada elemento:
- $c_{11} = (0 \cdot 2) + (3 \cdot 3) + (-1 \cdot -1) = 0 + 9 + 1 = 10$
- $c_{12} = (0 \cdot -1) + (3 \cdot 1) + (-1 \cdot 0) = 0 + 3 + 0 = 3$
- $c_{21} = (1 \cdot 2) + (0 \cdot 3) + (-2 \cdot -1) = 2 + 0 + 2 = 4$
- $c_{22} = (1 \cdot -1) + (0 \cdot 1) + (-2 \cdot 0) = -1 + 0 + 0 = -1$
$$\boxed{M \cdot N = \begin{pmatrix} 10 & 3 \\ 4 & -1 \end{pmatrix}}$$
💡 **Tip:** Recuerda que para multiplicar, se multiplica cada fila de la primera por cada columna de la segunda.
Paso 4
Planteamiento del problema de producción de café
**b) (1 punto) Efectúe el producto $P \cdot Q^t$ y explique el significado económico de cada uno de los elementos de la diagonal principal de la matriz resultante.**
Primero, definimos las matrices a partir del enunciado:
$$P = \begin{pmatrix} 550 & 400 & 240 \\ 260 & 200 & 100 \end{pmatrix}, \quad Q = \begin{pmatrix} 2.20 & 2.75 & 2.50 \\ 3.20 & 3.90 & 3.60 \end{pmatrix}$$
Necesitamos la traspuesta de $Q$:
$$Q^t = \begin{pmatrix} 2.20 & 3.20 \\ 2.75 & 3.90 \\ 2.50 & 3.60 \end{pmatrix}$$
La matriz $P$ ($2 \times 3$) representa (Filas: Tipo / Columnas: Modalidad).
La matriz $Q^t$ ($3 \times 2$) representa (Filas: Modalidad / Columnas: Precio según tipo).
💡 **Tip:** Al trasponer una matriz, las filas se convierten en columnas y las columnas en filas.
Paso 5
Cálculo del producto matricial P · Qᵗ
Realizamos el producto $P \cdot Q^t$:
$$\begin{pmatrix} 550 & 400 & 240 \\ 260 & 200 & 100 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2.20 & 3.20 \\ 2.75 & 3.90 \\ 2.50 & 3.60 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} c_{11} & c_{12} \\ c_{21} & c_{22} \end{pmatrix}$$
Calculamos los elementos:
- $c_{11} = 550 \cdot 2.20 + 400 \cdot 2.75 + 240 \cdot 2.50 = 1210 + 1100 + 600 = 2910$
- $c_{12} = 550 \cdot 3.20 + 400 \cdot 3.90 + 240 \cdot 3.60 = 1760 + 1560 + 864 = 4184$
- $c_{21} = 260 \cdot 2.20 + 200 \cdot 2.75 + 100 \cdot 2.50 = 572 + 550 + 250 = 1372$
- $c_{22} = 260 \cdot 3.20 + 200 \cdot 3.90 + 100 \cdot 3.60 = 832 + 780 + 360 = 1972$
$$\boxed{P \cdot Q^t = \begin{pmatrix} 2910 & 4184 \\ 1372 & 1972 \end{pmatrix}}$$
Paso 6
Interpretación económica
La diagonal principal de la matriz resultante está formada por los elementos $c_{11} = 2910$ y $c_{22} = 1972$.
- **$c_{11} = 2910$**: Representa los **ingresos totales** obtenidos por la venta de todo el **café natural** (sumando las modalidades A, B y C) a sus respectivos precios de venta.
- **$c_{22} = 1972$**: Representa los **ingresos totales** obtenidos por la venta de todo el **café descafeinado** (sumando las modalidades A, B y C) a sus respectivos precios de venta.
💡 **Tip:** Los elementos fuera de la diagonal (como $c_{12}$) no tendrían sentido económico directo aquí, ya que multiplicarían cantidades de un tipo de café por precios de otro tipo.