Cálculo de derivadas de funciones elementales y compuestas

**EJERCICIO 2 (2.5 puntos) Calcule las derivadas de las siguientes funciones: $f(x) = \frac{2^x + x^2}{x}$; $g(x) = (x^2 + 1)^2 \cdot \ln(e^{3x} + 4)$; $h(x) = \frac{1}{3x} - \frac{5}{x^2 - 2}$.** Comenzamos con la función $f(x) = \frac{2^x + x^2}{x}$. Para derivar este cociente, aplicamos la regla de la derivada de un cociente: $$\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$$ Donde: - $u = 2^x + x^2 \implies u' = 2^x \ln(2) + 2x$ - $v = x \implies v' = 1$ Sustituimos en la fórmula: $$f'(x) = \frac{(2^x \ln(2) + 2x) \cdot x - (2^x + x^2) \cdot 1}{x^2}$$ Multiplicamos y simplificamos los términos del numerador: $$f'(x) = \frac{x \cdot 2^x \ln(2) + 2x^2 - 2^x - x^2}{x^2} = \frac{x \cdot 2^x \ln(2) - 2^x + x^2}{x^2}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la derivada de una función exponencial $a^x$ es $a^x \ln(a)$. ✅ **Resultado para $f(x)$:** $$\boxed{f'(x) = \frac{2^x(x \ln 2 - 1) + x^2}{x^2}}$$

Para la función $g(x) = (x^2 + 1)^2 \cdot \ln(e^{3x} + 4)$, debemos aplicar la regla del producto: $$(u \cdot v)' = u'v + uv'$$ Identificamos las partes: - $u = (x^2 + 1)^2 \implies u' = 2(x^2 + 1) \cdot (2x) = 4x(x^2 + 1)$ (usando la regla de la cadena). - $v = \ln(e^{3x} + 4) \implies v' = \frac{(e^{3x} + 4)'}{e^{3x} + 4} = \frac{3e^{3x}}{e^{3x} + 4}$ (usando la derivada del logaritmo y la cadena). Aplicamos la regla del producto: $$g'(x) = 4x(x^2 + 1) \ln(e^{3x} + 4) + (x^2 + 1)^2 \cdot \frac{3e^{3x}}{e^{3x} + 4}$$ Podemos simplificar sacando factor común $(x^2 + 1)$: $$g'(x) = (x^2 + 1) \left[ 4x \ln(e^{3x} + 4) + \frac{3e^{3x}(x^2 + 1)}{e^{3x} + 4} \right]$$ 💡 **Tip:** No olvides la regla de la cadena: $\left[ f(g(x)) \right]' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$. ✅ **Resultado para $g(x)$:** $$\boxed{g'(x) = 4x(x^2 + 1) \ln(e^{3x} + 4) + \frac{3e^{3x}(x^2 + 1)^2}{e^{3x} + 4}}$$

Finalmente, para $h(x) = \frac{1}{3x} - \frac{5}{x^2 - 2}$, derivamos cada término por separado usando la regla de la resta. Para el primer término $\frac{1}{3x}$: $$\left( \frac{1}{3} x^{-1} \right)' = \frac{1}{3} (-1) x^{-2} = -\frac{1}{3x^2}$$ Para el segundo término $\frac{5}{x^2 - 2}$, aplicamos la regla del cociente o la regla de la cadena para potencias negativas: $$\left[ 5(x^2 - 2)^{-1} \right]' = 5(-1)(x^2 - 2)^{-2} \cdot (2x) = -\frac{10x}{(x^2 - 2)^2}$$ Unimos ambos resultados (teniendo en cuenta el signo menos que los separaba): $$h'(x) = -\frac{1}{3x^2} - \left( -\frac{10x}{(x^2 - 2)^2} \right) = -\frac{1}{3x^2} + \frac{10x}{(x^2 - 2)^2}$$ 💡 **Tip:** Para derivar $\frac{k}{f(x)}$, la fórmula rápida es $-\frac{k \cdot f'(x)}{[f(x)]^2}$. ✅ **Resultado para $h(x)$:** $$\boxed{h'(x) = -\frac{1}{3x^2} + \frac{10x}{(x^2 - 2)^2}}$$