Probabilidad de lluvia y uso del paraguas

**a) (1.25 puntos) ¿cuál es la probabilidad de que Pedro no haya cogido el paraguas ese día?** Primero, definimos los sucesos del problema: - $R$: El día tiene riesgo de lluvia. - $\bar{R}$: El día no tiene riesgo de lluvia. - $U$: Pedro coge el paraguas. - $\bar{U}$: Pedro no coge el paraguas. Extraemos los datos del enunciado: - $P(R) = 0.40 \implies P(\bar{R}) = 1 - 0.40 = 0.60$ - $P(U|R) = 0.98 \implies P(\bar{U}|R) = 1 - 0.98 = 0.02$ - $P(U|\bar{R}) = 0.05 \implies P(\bar{U}|\bar{R}) = 1 - 0.05 = 0.95$ Representamos la situación en un árbol de probabilidad: 💡 **Tip:** En un árbol de probabilidad, la suma de las ramas que salen de un mismo nodo siempre debe ser 1.

Para calcular la probabilidad de que no haya cogido el paraguas, $P(\bar{U})$, utilizamos el **Teorema de la Probabilidad Total**. Pedro puede no coger el paraguas en dos escenarios: que haya riesgo de lluvia o que no lo haya. $$P(\bar{U}) = P(R) \cdot P(\bar{U}|R) + P(\bar{R}) \cdot P(\bar{U}|\bar{R})$$ Sustituimos los valores: $$P(\bar{U}) = (0.40 \cdot 0.02) + (0.60 \cdot 0.95)$$ $$P(\bar{U}) = 0.008 + 0.57 = 0.578$$ ✅ **Resultado (a):** $$\boxed{P(\bar{U}) = 0.578}$$ 💡 **Tip:** El teorema de la probabilidad total nos permite calcular la probabilidad de un suceso final sumando las probabilidades de todos los caminos que conducen a él.

**b) (1.25 puntos) ¿cuál es la probabilidad de que exista riesgo de lluvia, si sabemos que ese día Pedro ha cogido el paraguas?** Nos piden calcular la probabilidad de que hubiera riesgo dado que ha cogido el paraguas, es decir, $P(R|U)$. Para ello usamos el **Teorema de Bayes**. La fórmula es: $$P(R|U) = \frac{P(R \cap U)}{P(U)} = \frac{P(R) \cdot P(U|R)}{P(U)}$$ Primero necesitamos $P(U)$. Como sabemos que $P(\bar{U}) = 0.578$, usamos el suceso contrario: $$P(U) = 1 - P(\bar{U}) = 1 - 0.578 = 0.422$$ Ahora aplicamos Bayes: $$P(R|U) = \frac{0.40 \cdot 0.98}{0.422}$$ $$P(R|U) = \frac{0.392}{0.422} \approx 0.9289$$ ✅ **Resultado (b):** $$\boxed{P(R|U) \approx 0.9289}$$ 💡 **Tip:** El Teorema de Bayes se utiliza para calcular 'probabilidades a posteriori', es decir, cuando ya conocemos el resultado final (cogió el paraguas) y queremos saber la probabilidad de la causa (había riesgo).