Intervalo de confianza para la media y tamaño muestral

**a) (1.25 puntos) Calcule un intervalo con un nivel de confianza del 94% para la media $\mu$.** Primero, extraemos los datos que nos proporciona el enunciado: - Desviación típica poblacional: $\sigma = 7$ gramos. - Tamaño de la muestra: $n = 36$. - Peso total de la muestra: $\sum x_i = 5274$ gramos. Calculamos la media muestral $\bar{x}$: $$\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n} = \frac{5274}{36} = 146.5 \text{ gramos}$$ La variable aleatoria sigue una distribución normal $N(\mu, 7)$, por lo que la media muestral $\bar{x}$ seguirá una distribución normal $N\left(\mu, \frac{7}{\sqrt{36}}\right)$. 💡 **Tip:** Recuerda que la media de la muestra se obtiene dividiendo la suma total de los valores entre el número de elementos de la muestra.

Para un nivel de confianza del $94\%$, tenemos que: $$1 - \alpha = 0.94 \implies \alpha = 0.06 \implies \frac{\alpha}{2} = 0.03$$ Buscamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ tal que $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.03 = 0.97$. Consultando la tabla de la distribución normal $N(0, 1)$: Para una probabilidad de $0.9699$ el valor es $1.88$. Para una probabilidad de $0.9706$ el valor es $1.89$. El valor más cercano a $0.97$ es $0.9699$, por lo tanto tomamos: $$\boxed{z_{\alpha/2} = 1.88}$$ 💡 **Tip:** Si el valor exacto no está en la tabla, solemos elegir el más cercano o realizar una interpolación. Aquí $0.9699$ es prácticamente $0.97$.

La fórmula del intervalo de confianza para la media es: $$I.C. = \left( \bar{x} - z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{x} + z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)$$ Calculamos el error máximo admisible $E$: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 1.88 \cdot \frac{7}{\sqrt{36}} = 1.88 \cdot \frac{7}{6} = 1.88 \cdot 1.1667 \approx 2.1933$$ Sustituimos en el intervalo: $$I.C. = (146.5 - 2.1933, 146.5 + 2.1933)$$ $$I.C. = (144.3067, 148.6933)$$ ✅ **Resultado (Intervalo):** $$\boxed{I.C. = (144.3067, 148.6933)}$$

**b) (1.25 puntos) Con el mismo nivel de confianza, ¿cuántas tabletas, como mínimo, habrá que tomar como muestra para que la amplitud del intervalo que se obtenga sea, como máximo, de 3 gramos?** La amplitud ($A$) de un intervalo de confianza es la diferencia entre el límite superior y el inferior, lo que equivale a dos veces el error: $$A = 2 \cdot E = 2 \cdot z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$ El enunciado nos pide que la amplitud sea, como máximo, de $3$ gramos: $$A \le 3 \implies 2 \cdot z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \le 3$$ Como el nivel de confianza es el mismo, seguimos usando $z_{\alpha/2} = 1.88$. 💡 **Tip:** No confundas el error con la amplitud. La amplitud es la distancia total del intervalo, mientras que el error es la distancia desde la media hasta uno de los extremos.

Sustituimos los valores conocidos en la inecuación y despejamos $n$: $$2 \cdot 1.88 \cdot \frac{7}{\sqrt{n}} \le 3$$ $$\frac{26.32}{\sqrt{n}} \le 3$$ $$\frac{26.32}{3} \le \sqrt{n}$$ $$8.7733 \le \sqrt{n}$$ Elevamos al cuadrado ambos lados para despejar $n$: $$n \ge (8.7733)^2$$ $$n \ge 76.97$$ Como el número de tabletas debe ser un número entero, redondeamos siempre al alza para asegurar que se cumple la condición de amplitud máxima. ✅ **Resultado (Muestra mínima):** $$\boxed{n = 77 \text{ tabletas}}$$