Ecuación matricial y grafos de adyacencia

**a) (1.5 puntos) Resuelva la ecuación matricial $2 \cdot X - C \cdot D = (I_3 + D) \cdot C$.** Primero, vamos a despejar la matriz $X$ utilizando las propiedades del álgebra matricial. 1. Aplicamos la propiedad distributiva en el lado derecho: $(I_3 + D) \cdot C = I_3 \cdot C + D \cdot C$. 2. Sabemos que $I_3 \cdot C = C$ (la matriz identidad es el elemento neutro del producto). 3. La ecuación queda: $2X - CD = C + DC$. 4. Pasamos el término $-CD$ al otro lado sumando: $2X = C + DC + CD$. 5. Finalmente, despejamos $X$ dividiendo por 2: $X = \frac{1}{2}(C + DC + CD)$. 💡 **Tip:** En las ecuaciones matriciales, el orden del producto es fundamental ($DC$ no es necesariamente igual a $CD$), por lo que debemos mantenerlo siempre.

Calculamos $CD$ multiplicando filas por columnas: $$C \cdot D = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ Ahora calculamos $DC$: $$D \cdot C = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Para el elemento $a_{ij}$ del resultado, multiplica los elementos de la fila $i$ de la primera matriz por los de la columna $j$ de la segunda y súmalos.

Sumamos las matrices $C$, $DC$ y $CD$: $$C + DC + CD = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 2 \\ 2 & 4 & 2 \\ 2 & 2 & 2 \end{pmatrix}$$ Ahora, multiplicamos por $\frac{1}{2}$ para hallar $X$: $$X = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 2 & 2 & 2 \\ 2 & 4 & 2 \\ 2 & 2 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado (Apartado a):** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}}$$

**b) (1 punto) Si las matrices $C$ y $D$ son las matrices de adyacencia de dos grafos, de vértices $a, b, c$ y $1, 2, 3$, respectivamente, haga la representación gráfica de dichos grafos.** En una matriz de adyacencia, un valor $1$ en la posición $(i, j)$ indica que hay una arista entre el vértice $i$ y el vértice $j$. **Grafo 1 (Matriz $C$):** - Vértices: $a$ (fila 1), $b$ (fila 2), $c$ (fila 3). - Conexiones: El $1$ en $(1,2)$ y $(2,1)$ indica arista entre $a$ y $b$. El $1$ en $(2,3)$ y $(3,2)$ indica arista entre $b$ y $c$. **Grafo 2 (Matriz $D$):** - Vértices: $1, 2, 3$. - Conexiones: Hay $1$ en todas las posiciones excepto en la diagonal. Por tanto, hay aristas entre $(1,2)$, $(1,3)$ y $(2,3)$. 💡 **Tip:** Recuerda que si la matriz es simétrica, el grafo es no dirigido. Si hay ceros en la diagonal principal, el grafo no tiene bucles (aristas de un vértice a sí mismo).