Estudio del consumo de combustible de un automóvil

**a) (0.5 puntos) Determine el consumo de gasolina a las velocidades de 50 km/h y 150 km/h.** Para resolver este apartado, simplemente debemos sustituir los valores de la velocidad $x$ en la función de consumo $c(x) = 7.5 - 0.05x + 0.00025x^2$. Para $x = 50$ km/h: $$c(50) = 7.5 - 0.05(50) + 0.00025(50)^2$$ $$c(50) = 7.5 - 2.5 + 0.00025(2500)$$ $$c(50) = 5 + 0.625 = 5.625 \text{ litros}$$ Para $x = 150$ km/h: $$c(150) = 7.5 - 0.05(150) + 0.00025(150)^2$$ $$c(150) = 7.5 - 7.5 + 0.00025(22500)$$ $$c(150) = 0 + 5.625 = 5.625 \text{ litros}$$ 💡 **Tip:** Al sustituir, asegúrate de seguir el orden de las operaciones: primero las potencias, luego multiplicaciones y finalmente sumas y restas. ✅ **Resultado:** $$\boxed{c(50) = 5.625 \text{ l}, \quad c(150) = 5.625 \text{ l}}$$

**b) (1 punto) Estudie el crecimiento y decrecimiento de la función $c(x)$.** El crecimiento y decrecimiento se estudia a través del signo de la primera derivada $c'(x)$. Primero, derivamos la función: $$c'(x) = -0.05 + 0.00025 \cdot 2x = -0.05 + 0.0005x$$ Buscamos los puntos críticos igualando la derivada a cero: $$-0.05 + 0.0005x = 0$$ $$0.0005x = 0.05$$ $$x = \frac{0.05}{0.0005} = 100 \text{ km/h}$$ Como el dominio de la función es $[25, 175]$, el punto $x = 100$ divide nuestro intervalo en dos tramos: $(25, 100)$ y $(100, 175)$. 💡 **Tip:** La derivada de un polinomio se calcula término a término. Recuerda que $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$ y la derivada de una constante es 0.

Analizamos el signo de $c'(x)$ en los intervalos determinados por el punto crítico dentro del dominio: $$\begin{array}{c|ccc} x & (25, 100) & 100 & (100, 175)\\\hline c'(x) & - & 0 & +\\\hline c(x) & \searrow & \text{Mínimo} & \nearrow \end{array}$$ - En el intervalo $(25, 100)$, probamos con $x=50$: $c'(50) = -0.05 + 0.0005(50) = -0.05 + 0.025 = -0.025 \lt 0$. La función es **decreciente**. - En el intervalo $(100, 175)$, probamos con $x=150$: $c'(150) = -0.05 + 0.0005(150) = -0.05 + 0.075 = 0.025 \gt 0$. La función es **creciente**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Decreciente en } [25, 100) \text{ y creciente en } (100, 175]}$$

**c) (1 punto) ¿A qué velocidades de ese intervalo se obtiene el mínimo consumo y el máximo consumo y cuáles son éstos?** Basándonos en el estudio de la monotonía: 1. El **mínimo consumo** ocurre en el punto crítico $x = 100$ km/h, ya que la función pasa de decrecer a crecer. $$c(100) = 7.5 - 0.05(100) + 0.00025(100)^2 = 7.5 - 5 + 2.5 = 5 \text{ litros}$$ 2. El **máximo consumo** debe estar en los extremos del intervalo $[25, 175]$ debido a la forma parabólica de la función. Calculamos los valores en los extremos: - Para $x = 25$: $$c(25) = 7.5 - 0.05(25) + 0.00025(25)^2 = 7.5 - 1.25 + 0.15625 = 6.40625 \text{ litros}$$ - Para $x = 175$: $$c(175) = 7.5 - 0.05(175) + 0.00025(175)^2 = 7.5 - 8.75 + 7.65625 = 6.40625 \text{ litros}$$ 💡 **Tip:** En una función continua en un intervalo cerrado, los extremos absolutos siempre se encuentran o en los puntos donde la derivada es cero o en los extremos del propio intervalo. ✅ **Resultados finales:** - **Mínimo consumo:** $5$ litros a una velocidad de **$100$ km/h**. - **Máximo consumo:** $6.40625$ litros a las velocidades de **$25$ km/h** y **$175$ km/h**.