Probabilidad condicionada e independencia de sucesos

Para resolver cualquier apartado, primero necesitamos conocer la probabilidad de la intersección $P(A \cap B)$. El enunciado nos da la probabilidad condicionada $P(A/B) = 0.5$. Por definición: $$P(A/B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$$ Sustituimos los valores conocidos: $$0.5 = \frac{P(A \cap B)}{0.4}$$ Despejamos la intersección: $$P(A \cap B) = 0.5 \cdot 0.4 = 0.2$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la probabilidad de la intersección se puede obtener del producto de la probabilidad condicionada por la del suceso que condiciona: $P(A \cap B) = P(A/B) \cdot P(B)$. $$\boxed{P(A \cap B) = 0.2}$$

Es muy útil organizar todos los datos en una tabla para visualizar las probabilidades de los sucesos complementarios y sus intersecciones: $$\begin{array}{c|cc|c} & B & \bar{B} & \text{Total} \\ \hline A & 0.2 & 0.3 & 0.5 \\ \bar{A} & 0.2 & 0.3 & 0.5 \\ \hline \text{Total} & 0.4 & 0.6 & 1.0 \end{array}$$ Para completar la tabla hemos hecho: - $P(A \cap \bar{B}) = P(A) - P(A \cap B) = 0.5 - 0.2 = 0.3$ - $P(\bar{A} \cap B) = P(B) - P(A \cap B) = 0.4 - 0.2 = 0.2$ - $P(\bar{B}) = 1 - P(B) = 1 - 0.4 = 0.6$

**a) (1 punto) Halle la probabilidad de que se verifique alguno de los dos sucesos.** La expresión "que se verifique alguno de los dos" hace referencia a la unión de los sucesos, $P(A \cup B)$. Utilizamos la fórmula de la unión: $$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$ Sustituimos los valores: $$P(A \cup B) = 0.5 + 0.4 - 0.2 = 0.7$$ 💡 **Tip:** La unión incluye los casos en los que ocurre solo A, solo B o ambos a la vez. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(A \cup B) = 0.7}$$

**b) (0.75 puntos) Calcule la probabilidad de que no se verifique $B$ si se ha verificado $A$.** Nos piden la probabilidad de que no ocurra $B$ ($\bar{B}$) condicionado a que ha ocurrido $A$. Se denota como $P(\bar{B}/A)$. Aplicamos la fórmula de la probabilidad condicionada: $$P(\bar{B}/A) = \frac{P(\bar{B} \cap A)}{P(A)}$$ Usando los valores de nuestra tabla (o sabiendo que $P(A \cap \bar{B}) = P(A) - P(A \cap B)$): $$P(\bar{B}/A) = \frac{0.3}{0.5} = 0.6$$ 💡 **Tip:** También podrías haberlo calculado como el complementario de la condicionada: $P(\bar{B}/A) = 1 - P(B/A)$. Calculando $P(B/A) = 0.2/0.5 = 0.4$, obtenemos $1 - 0.4 = 0.6$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\bar{B}/A) = 0.6}$$

**c) (0.75 puntos) ¿Son independientes los sucesos $A$ y $B$? Razone la respuesta.** Dos sucesos son independientes si el hecho de que ocurra uno no afecta a la probabilidad del otro. Matemáticamente, se puede comprobar de dos formas: 1. **Comparando la intersección:** ¿Es $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$? - $P(A \cap B) = 0.2$ - $P(A) \cdot P(B) = 0.5 \cdot 0.4 = 0.2$ Como $0.2 = 0.2$, se cumple la condición. 2. **Comparando la condicionada:** ¿Es $P(A/B) = P(A)$? - $P(A/B) = 0.5$ - $P(A) = 0.5$ Como son iguales, el suceso $B$ no altera la probabilidad de $A$. 💡 **Tip:** Si se cumple una de las condiciones anteriores, la otra se cumple automáticamente. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Sí, son independientes porque } P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)}$$