Contraste de hipótesis para la media de extracciones

**a) (0.5 puntos) Plantee el contraste de hipótesis asociado al enunciado.** Identificamos el parámetro objeto de estudio, que es la media poblacional $\mu$ de dinero extraído. El director afirma que esta media "no supera" los 120 euros. Esto se traduce en que la hipótesis nula ($H_0$) contiene la igualdad o la afirmación del director, mientras que la hipótesis alternativa ($H_1$) es la negación (unilateral derecha en este caso). $$H_0: \mu \le 120 \text{ (Afirmación del director)}$$ $$H_1: \mu \gt 120$$ Se trata de un **contraste unilateral a la derecha**. 💡 **Tip:** La hipótesis nula $H_0$ siempre debe contener el signo de igualdad ($=$, $\le$ o $\ge$). Como queremos contrastar si supera un valor, el rechazo se situará en el extremo derecho de la distribución. ✅ **Resultado:** $$\boxed{H_0: \mu \le 120; \quad H_1: \mu \gt 120}$$

**b) (1 punto) Determine la región de aceptación, para un nivel de significación $\alpha = 0.05$.** Para determinar la región de aceptación, primero identificamos los datos del problema: - Media poblacional bajo $H_0$: $\mu_0 = 120$ - Desviación típica poblacional: $\sigma = 67$ - Tamaño de la muestra: $n = 100$ - Nivel de significación: $\alpha = 0.05$ La media muestral $\bar{X}$ sigue una distribución Normal: $$\bar{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right) = N\left(120, \frac{67}{\sqrt{100}}\right) = N(120, 6.7)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la desviación típica de la media muestral (error estándar) es $\sigma_{\bar{x}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$.

Para un nivel de significación $\alpha = 0.05$ en un contraste unilateral derecho, buscamos el valor crítico $z_{\alpha}$ tal que $P(Z \le z_{\alpha}) = 1 - \alpha = 0.95$. Consultando la tabla de la Normal estándar $N(0, 1)$: $$P(Z \le 1.64) = 0.9495$$ $$P(Z \le 1.65) = 0.9505$$ Interpolando o tomando el valor más cercano (o el estándar): $$z_{\alpha} = 1.645$$ 💡 **Tip:** Si no quieres interpolar, el valor $1.64$ o $1.65$ suele aceptarse, pero $1.645$ es el valor exacto para el $95\%$ de probabilidad acumulada.

La región de aceptación para la media muestral $\bar{x}$ en un contraste unilateral derecho viene dada por: $$R.A. = (-\infty, \mu_0 + z_{\alpha} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}]$$ Sustituimos los valores: $$\text{Límite superior} = 120 + 1.645 \cdot \frac{67}{\sqrt{100}} = 120 + 1.645 \cdot 6.7$$ $$\text{Límite superior} = 120 + 11.0215 = 131.0215$$ Por tanto, la región de aceptación es el intervalo de valores de la media muestral donde no rechazamos la afirmación del director. ✅ **Resultado:** $$\boxed{R.A. = (-\infty, 131.0215]}$$

**c) (1 punto) Con los datos muestrales tomados, ¿existe evidencia estadística para rechazar la hipótesis de este director, con el mismo nivel de significación anterior?** Comparamos el valor de la media muestral obtenida en el estudio con la región de aceptación calculada en el apartado anterior. - Media muestral observada: $\bar{x} = 130$ - Región de Aceptación: $(-\infty, 131.0215]$ Como $130 \le 131.0215$, el valor de la muestra **cae dentro de la región de aceptación**. 💡 **Tip:** Si el valor experimental está dentro de la región de aceptación, no tenemos pruebas suficientes para decir que el director miente, aunque la media de la muestra sea superior a 120. ✅ **Conclusión:** $$\boxed{\text{No existe evidencia estadística para rechazar la hipótesis del director.}}$$