Continuidad, derivabilidad y asíntotas de una función a trozos

**a) (1.5 puntos) Estudie la continuidad y la derivabilidad de $f$.** Primero, analizamos el dominio de cada rama para identificar puntos críticos de continuidad fuera del valor de salto ($x=0$): 1. En la primera rama $f(x) = -\frac{2}{x + 2}$ para $x \leq 0$, el denominador se anula en $x = -2$. Como $-2 \leq 0$, la función no está definida en **$x = -2$**. 2. En la segunda rama $f(x) = \frac{2}{x - 2}$ para $x > 0$, el denominador se anula en $x = 2$. Como $2 > 0$, la función no está definida en **$x = 2$**. Por tanto, el dominio de la función es $\text{Dom}(f) = \mathbb{R} - \{-2, 2\}$. 💡 **Tip:** Antes de estudiar el punto de unión de las ramas, siempre debemos comprobar si existen valores que anulen los denominadores dentro de los intervalos de definición de cada rama.

Para que la función sea continua en $x=0$, deben coincidir el valor de la función y los límites laterales: 1. **Valor de la función:** $f(0) = -\frac{2}{0+2} = -1$. 2. **Límite por la izquierda ($x \to 0^-$):** $$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0} \left(-\frac{2}{x+2}\right) = -\frac{2}{2} = -1.$$ 3. **Límite por la derecha ($x \to 0^+$):** $$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0} \left(\frac{2}{x-2}\right) = \frac{2}{-2} = -1.$$ Como $f(0) = \lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = -1$, la función **es continua en $x=0$**. En resumen, la función es continua en $\mathbb{R} - \{-2, 2\}$. En $x=-2$ y $x=2$ presenta discontinuidades de salto infinito (asíntotas verticales). ✅ **Resultado (Continuidad):** $$\boxed{\text{Continua en } \mathbb{R} - \{-2, 2\}}$$

Para estudiar la derivabilidad, calculamos la derivada de cada rama en los intervalos abiertos: - Para $x < 0$ (y $x \neq -2$): $$f'(x) = \frac{d}{dx}\left[-2(x+2)^{-1}\right] = -2 \cdot (-1)(x+2)^{-2} = \frac{2}{(x+2)^2}$$ - Para $x > 0$ (y $x \neq 2$): $$f'(x) = \frac{d}{dx}\left[2(x-2)^{-1}\right] = 2 \cdot (-1)(x-2)^{-2} = \frac{-2}{(x-2)^2}$$ La función derivada queda definida como: $$f'(x) = \begin{cases} \frac{2}{(x + 2)^2} & \text{si } x < 0, x \neq -2 \\ \frac{-2}{(x - 2)^2} & \text{si } x > 0, x \neq 2 \end{cases}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la derivada de $\frac{k}{u}$ es $-\frac{k \cdot u'}{u^2}$.

Estudiamos las derivadas laterales en $x=0$ para ver si coinciden: - **Derivada por la izquierda:** $$f'(0^-) = \lim_{x \to 0^-} \frac{2}{(x+2)^2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$ - **Derivada por la derecha:** $$f'(0^+) = \lim_{x \to 0^+} \frac{-2}{(x-2)^2} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$$ Como $f'(0^-) \neq f'(0^+)$, la función **no es derivable en $x=0$** (presenta un punto anguloso). En conclusión, la función es derivable en todo su dominio excepto en el punto de unión de las ramas. ✅ **Resultado (Derivabilidad):** $$\boxed{\text{Derivable en } \mathbb{R} - \{-2, 0, 2\}}$$

**b) (1 punto) Halle las ecuaciones de las asíntotas de esta función.** Las asíntotas verticales suelen encontrarse en los puntos donde la función no está definida. Analizamos $x=-2$ y $x=2$: **En $x = -2$:** $$\lim_{x \to -2} -\frac{2}{x+2} = \frac{-2}{0} = \infty$$ Estudiando los límites laterales: - $\lim_{x \to -2^-} -\frac{2}{x+2} = \frac{-2}{0^-} = +\infty$ - $\lim_{x \to -2^+} -\frac{2}{x+2} = \frac{-2}{0^+} = -\infty$ Por tanto, **$x = -2$** es una asíntota vertical. **En $x = 2$:** $$\lim_{x \to 2} \frac{2}{x-2} = \frac{2}{0} = \infty$$ Estudiando los límites laterales: - $\lim_{x \to 2^-} \frac{2}{x-2} = \frac{2}{0^-} = -\infty$ - $\lim_{x \to 2^+} \frac{2}{x-2} = \frac{2}{0^+} = +\infty$ Por tanto, **$x = 2$** es una asíntota vertical. ✅ **Resultado (A. Verticales):** $$\boxed{x = -2, \quad x = 2}$$

Calculamos los límites cuando $x$ tiende a infinito: 1. **Cuando $x \to -\infty$ (rama 1):** $$\lim_{x \to -\infty} -\frac{2}{x+2} = 0$$ Esto indica que **$y = 0$** es una asíntota horizontal por la izquierda. 2. **Cuando $x \to +\infty$ (rama 2):** $$\lim_{x \to +\infty} \frac{2}{x-2} = 0$$ Esto indica que **$y = 0$** es una asíntota horizontal por la derecha. Al existir asíntotas horizontales en ambos extremos, descartamos la existencia de asíntotas oblicuas. ✅ **Resultado (A. Horizontales):** $$\boxed{y = 0}$$