Seguros médicos y de vida: Probabilidad total y Bayes

**a) (1.5 puntos) Halle el porcentaje de operaciones en las que no se producen retrasos en los pagos.** En primer lugar, definimos los sucesos que intervienen en el problema para organizar la información: - $M$: La operación corresponde a un seguro médico. - $V$: La operación corresponde a un seguro de vida. - $R$: Se produce un retraso en el pago. - $\bar{R}$: No se produce un retraso en el pago. Extraemos los datos del enunciado: - $P(M) = 0.20$ (20% son seguros médicos). - $P(V) = 1 - P(M) = 0.80$ (el resto, 80%, son seguros de vida). - $P(\bar{R}|M) = 0.10$ (10% de los médicos no tienen retraso). - $P(\bar{R}|V) = 0.15$ (15% de los de vida no tienen retraso). Representamos esta situación mediante un **árbol de probabilidad**: 💡 **Tip:** Recuerda que la suma de las probabilidades de las ramas que salen de un mismo nodo siempre debe ser 1.

Para hallar el porcentaje total de operaciones sin retrasos ($P(\bar{R})$), aplicamos el **Teorema de la Probabilidad Total**. Este teorema nos dice que la probabilidad de un suceso se obtiene sumando las probabilidades de que ocurra dicho suceso a través de cada una de las opciones posibles (seguros médicos y seguros de vida): $$P(\bar{R}) = P(M) \cdot P(\bar{R}|M) + P(V) \cdot P(\bar{R}|V)$$ Sustituimos los valores obtenidos en el árbol: $$P(\bar{R}) = (0.20 \cdot 0.10) + (0.80 \cdot 0.15)$$ $$P(\bar{R}) = 0.02 + 0.12 = 0.14$$ Para expresar el resultado en porcentaje, multiplicamos por 100: $$0.14 \cdot 100 = 14\%$$ ✅ **Resultado (apartado a):** $$\boxed{14\%}$$

**b) (1 punto) De las operaciones que han sufrido retrasos en los pagos, ¿qué porcentaje corresponde a los seguros de vida?** Nos piden una probabilidad condicionada: sabiendo que se ha producido un retraso ($R$), ¿cuál es la probabilidad de que sea de vida ($V$)? Es decir, buscamos $P(V|R)$. Aplicamos el **Teorema de Bayes**: $$P(V|R) = \frac{P(V \cap R)}{P(R)}$$ Primero, calculamos $P(R)$, que es el suceso contrario a no tener retrasos: $$P(R) = 1 - P(\bar{R}) = 1 - 0.14 = 0.86$$ Ahora calculamos $P(V \cap R)$ siguiendo la rama correspondiente en nuestro árbol: $$P(V \cap R) = P(V) \cdot P(R|V) = 0.80 \cdot 0.85 = 0.68$$ Calculamos la probabilidad final: $$P(V|R) = \frac{0.68}{0.86} \approx 0.7907$$ 💡 **Tip:** El Teorema de Bayes se usa para calcular probabilidades a posteriori, es decir, cuando ya conocemos el resultado final (retraso) y queremos saber la causa original (seguro de vida). Expresamos el resultado final como porcentaje: $$0.7907 \cdot 100 = 79.07\%$$ ✅ **Resultado (apartado b):** $$\boxed{79.07\%}$$