Intervalo de confianza y tamaño muestral para estaturas

**a) (1.25 puntos) Obtenga un intervalo de confianza, con un nivel del 97%, para la media de la distribución de estaturas.** Primero, identificamos los datos que nos proporciona el enunciado para la variable aleatoria $X$ (estatura en metros): - Distribución: Normal $N(\mu, \sigma)$ con $\sigma = 0.04$. - Tamaño de la muestra: $n = 60$. - Media muestral: $\bar{x} = 1.73$. - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0.97$. Calculamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$: 1. Si el nivel de confianza es $0.97$, entonces $\alpha = 1 - 0.97 = 0.03$. 2. Repartimos el error en las dos colas: $\alpha/2 = 0.015$. 3. Buscamos en la tabla de la Normal el valor de $z_{\alpha/2}$ tal que: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.015 = 0.985.$$ Mirando en la tabla de la distribución Normal estándar $N(0,1)$, encontramos que para una probabilidad de $0.985$, el valor es: $$\boxed{z_{\alpha/2} = 2.17}$$ 💡 **Tip:** El valor crítico $z_{\alpha/2}$ es el número de desviaciones típicas que debemos alejarnos de la media para encerrar el área (probabilidad) deseada. Recuerda siempre buscar $1 - \alpha/2$ en el interior de la tabla.

Calculamos el error máximo admisible $E$ mediante la fórmula: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$ Sustituimos los valores: $$E = 2.17 \cdot \frac{0.04}{\sqrt{60}} \approx 2.17 \cdot \frac{0.04}{7.746} \approx 2.17 \cdot 0.005164 \approx 0.0112.$$ El intervalo de confianza se construye como $(\bar{x} - E, \bar{x} + E)$: $$I.C. = (1.73 - 0.0112, \; 1.73 + 0.0112)$$ $$I.C. = (1.7188, \; 1.7412)$$ ✅ **Resultado del apartado a):** $$\boxed{I.C. = (1.7188, \; 1.7412) \text{ metros}}$$

**b) (1.25 puntos) Halle el tamaño mínimo que debe tener una muestra de esta población, para que la amplitud de un intervalo de la media con este nivel de confianza sea inferior a 0.08 m.** La **amplitud** ($A$) de un intervalo de confianza es la distancia entre sus extremos, que equivale a dos veces el error: $$A = 2 \cdot E = 2 \cdot z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$ Queremos que la amplitud sea inferior a $0.08$ m, es decir, $A \lt 0.08$. Esto implica que el error debe ser inferior a la mitad: $$E \lt \frac{0.08}{2} \implies E \lt 0.04$$ Planteamos la inecuación con los datos del apartado anterior ($z_{\alpha/2} = 2.17$ y $\sigma = 0.04$): $$2.17 \cdot \frac{0.04}{\sqrt{n}} \lt 0.04$$ Simplificamos dividiendo ambos lados por $0.04$: $$\frac{2.17}{\sqrt{n}} \lt 1 \implies 2.17 \lt \sqrt{n}$$ Elevamos al cuadrado para despejar $n$: $$n \gt (2.17)^2 \implies n \gt 4.7089$$ Como el tamaño de la muestra $n$ debe ser un número entero, el primer valor que cumple la condición es $n = 5$. 💡 **Tip:** Al calcular tamaños muestrales, si el resultado tiene decimales, siempre redondeamos hacia arriba al entero más cercano, incluso si el decimal es pequeño, para garantizar que el error sea menor al exigido. ✅ **Resultado del apartado b):** $$\boxed{n \ge 5 \text{ personas}}$$