Programación lineal: Región factible y optimización

**a) (1.5 puntos) Represente gráficamente el recinto R y calcule sus vértices.** Para representar el recinto, primero transformamos las inecuaciones en igualdades para obtener las rectas que delimitan la región: 1. $r_1: x + y = 2$ 2. $r_2: x + 3y = 15$ 3. $r_3: 3x - y = 15$ 4. Ejes de coordenadas: $x = 0$ (eje $Y$) e $y = 0$ (eje $X$) Calculamos un par de puntos para cada recta para poder dibujarlas: - Para $r_1$: Si $x=0 \to y=2$; si $y=0 \to x=2$. Pasa por $(0, 2)$ y $(2, 0)$. - Para $r_2$: Si $x=0 \to y=5$; si $y=0 \to x=15$. Pasa por $(0, 5)$ y $(15, 0)$. - Para $r_3$: Si $x=5 \to y=0$; si $x=6 \to y=3$. Pasa por $(5, 0)$ y $(6, 3)$. 💡 **Tip:** Para saber hacia qué lado de la recta está la solución de la inecuación, prueba con el punto $(0,0)$. Por ejemplo, en $x+y \ge 2$, $0+0 \ge 2$ es falso, por lo que la región está en el lado opuesto al origen.

Los vértices se obtienen resolviendo los sistemas de ecuaciones formados por las rectas que se cortan: - **Vértice A:** Intersección de $x = 0$ y $x + y = 2$. $$0 + y = 2 \implies y = 2 \implies \mathbf{A(0, 2)}$$ - **Vértice B:** Intersección de $x = 0$ y $x + 3y = 15$. $$0 + 3y = 15 \implies y = 5 \implies \mathbf{B(0, 5)}$$ - **Vértice C:** Intersección de $x + 3y = 15$ y $3x - y = 15$. Despejamos $y$ en la segunda: $y = 3x - 15$. Sustituimos en la primera: $$x + 3(3x - 15) = 15 \implies x + 9x - 45 = 15 \implies 10x = 60 \implies x = 6$$ Sustituyendo $x$: $y = 3(6) - 15 = 3 \implies \mathbf{C(6, 3)}$ - **Vértice D:** Intersección de $3x - y = 15$ e $y = 0$. $$3x - 0 = 15 \implies x = 5 \implies \mathbf{D(5, 0)}$$ - **Vértice E:** Intersección de $x + y = 2$ e $y = 0$. $$x + 0 = 2 \implies x = 2 \implies \mathbf{E(2, 0)}$$ ✅ **Vértices del recinto:** $$\boxed{A(0,2), B(0,5), C(6,3), D(5,0), E(2,0)}$$

Representamos las rectas y sombreamos la región común a todas las inecuaciones (recinto R).

**b) (0.5 puntos) Halle los valores máximo y mínimo que alcanza la función $F(x, y) = 3x + y$ en dicho recinto.** Según el teorema fundamental de la programación lineal, el máximo y el mínimo de una función objetivo en un recinto convexo y acotado se alcanzan en sus vértices. Evaluamos $F(x, y) = 3x + y$ en cada uno: - $F(A) = F(0, 2) = 3(0) + 2 = 2$ - $F(B) = F(0, 5) = 3(0) + 5 = 5$ - $F(C) = F(6, 3) = 3(6) + 3 = 18 + 3 = 21$ - $F(D) = F(5, 0) = 3(5) + 0 = 15$ - $F(E) = F(2, 0) = 3(2) + 0 = 6$ Comparando los resultados: - El valor máximo es **21** y se alcanza en el punto **(6, 3)**. - El valor mínimo es **2** y se alcanza en el punto **(0, 2)**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Máximo: } 21, \text{ Mínimo: } 2}$$

**c) (0.5 puntos) Razone si existen puntos (x, y) del recinto, para los que $F(x, y) = 30$.** En el apartado anterior, hemos determinado que el valor máximo que la función $F(x, y) = 3x + y$ puede alcanzar dentro del recinto cerrado y acotado $R$ es **21**. Dado que $F(x, y) \le 21$ para cualquier punto $(x, y) \in R$, es imposible que la función tome el valor **30**. 💡 **Tip:** Si una función es continua y el recinto es cerrado y acotado, los valores que toma la función están comprendidos exactamente entre su mínimo absoluto y su máximo absoluto. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{No existen puntos en el recinto tales que } F(x, y) = 30}$$