Estudio de funciones: racional y polinómica

**a) (1.25 puntos) Halle el dominio, los puntos de corte con los ejes, y las asíntotas de la función $f(x) = \frac{4x}{2x + 1}$** La función $f(x)$ es una función racional. El dominio de una función racional son todos los números reales excepto aquellos que anulan el denominador. Igualamos el denominador a cero: $$2x + 1 = 0 \implies 2x = -1 \implies x = -\frac{1}{2}$$ Por tanto, el dominio es: $$\boxed{\text{Dom}(f) = \mathbb{R} \setminus \left\{-\frac{1}{2}\right\}}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que en las funciones racionales no podemos dividir por cero, por lo que siempre debemos excluir los valores que hacen que el denominador sea nulo.

Para hallar los puntos de corte, analizamos la intersección con ambos ejes: **1. Corte con el eje Y (Eje de ordenadas):** Hacemos $x = 0$: $$f(0) = \frac{4(0)}{2(0) + 1} = \frac{0}{1} = 0$$ El punto de corte es **$(0, 0)$**. **2. Corte con el eje X (Eje de abscisas):** Hacemos $f(x) = 0$: $$\frac{4x}{2x + 1} = 0 \implies 4x = 0 \implies x = 0$$ El punto de corte es el mismo: **$(0, 0)$**. ✅ **Resultado (Puntos de corte):** $$\boxed{(0, 0)}$$

Estudiamos la existencia de asíntotas: **1. Asíntotas Verticales (A.V.):** Probamos en el punto excluido del dominio, $x = -1/2$: $$\lim_{x \to -1/2} \frac{4x}{2x + 1} = \frac{-2}{0} = \infty$$ Por tanto, existe una asíntota vertical en: $$\boxed{x = -\frac{1}{2}}$$ **2. Asíntotas Horizontales (A.H.):** Calculamos el límite cuando $x \to \pm\infty$: $$\lim_{x \to \infty} \frac{4x}{2x + 1} = \lim_{x \to \infty} \frac{4x}{2x} = \frac{4}{2} = 2$$ Como el límite es un valor finito, existe una asíntota horizontal en: $$\boxed{y = 2}$$ **3. Asíntotas Oblicuas (A.O.):** Dado que existe una asíntota horizontal, **no hay asíntotas oblicuas**. 💡 **Tip:** Si una función racional tiene el mismo grado en el numerador y el denominador, la A.H. es el cociente de los coeficientes principales.

**b) (1.25 puntos) Halle los intervalos de monotonía, los extremos relativos, los intervalos de curvatura y los puntos de inflexión de la función $g(x) = x^3 + 3x^2 + 3x$.** Primero, calculamos la derivada $g'(x)$ para estudiar la monotonía: $$g'(x) = 3x^2 + 6x + 3$$ Para hallar los puntos críticos, igualamos a cero: $$3x^2 + 6x + 3 = 0 \implies 3(x^2 + 2x + 1) = 0 \implies 3(x + 1)^2 = 0 \implies x = -1$$ Estudiamos el signo de $g'(x)$ en los intervalos determinados por $x = -1$: $$\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty, -1) & -1 & (-1, +\infty) \\ \hline g'(x) & + & 0 & + \\ \text{Monotonía} & \text{Creciente} (\nearrow) & \text{P. Crítico} & \text{Creciente} (\nearrow) \end{array}$$ La función es **creciente** en todo su dominio $\mathbb{R}$ ya que $(x+1)^2$ siempre es mayor o igual a cero. Al no haber cambio de signo en $x = -1$, **no existen extremos relativos**. ✅ **Resultado (Monotonía):** $$\boxed{\text{Creciente en } \mathbb{R} \quad \text{No hay extremos relativos}}$$

Para la curvatura, calculamos la segunda derivada $g''(x)$: $$g''(x) = (3x^2 + 6x + 3)' = 6x + 6$$ Igualamos a cero para localizar posibles puntos de inflexión: $$6x + 6 = 0 \implies x = -1$$ Estudiamos el signo de $g''(x)$: $$\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty, -1) & -1 & (-1, +\infty) \\ \hline g''(x) & - & 0 & + \\ \text{Curvatura} & \text{Cóncava } (\cap) & \text{P. Inflexión} & \text{Convexa } (\cup) \end{array}$$ - Es **cóncava** (hacia abajo) en $(-\infty, -1)$. - Es **convexa** (hacia arriba) en $(-1, +\infty)$. Como hay cambio de curvatura en $x = -1$, calculamos su coordenada $y$: $$g(-1) = (-1)^3 + 3(-1)^2 + 3(-1) = -1 + 3 - 3 = -1$$ ✅ **Resultado (Inflexión):** $$\boxed{\text{Punto de Inflexión en } (-1, -1)}$$