Contraste de hipótesis para la media de una población normal

**a) (0.5 puntos) Formule el contraste de hipótesis que indica el enunciado.** Primero, definimos la variable aleatoria $X$ como los "años de vida de los individuos de un país". El enunciado nos indica que $X$ sigue una distribución normal $N(\mu, \sigma)$ con una desviación típica poblacional $\sigma = 8.9$ años. Queremos contrastar si la vida media ($\mu$) no supera los 70 años. Esto configura un contraste unilateral (o de una cola): - **Hipótesis nula ($H_0$):** La vida media no supera los 70 años. Es decir, $H_0: \mu \le 70$. - **Hipótesis alternativa ($H_1$):** La vida media es superior a 70 años. Es decir, $H_1: \mu \gt 70$. 💡 **Tip:** La hipótesis nula siempre contiene el signo de igualdad ($=$, $\le$ o $\ge$). En este caso, como queremos ver si "no supera", incluimos el 70 en la nula. ✅ **Resultado:** $$\boxed{H_0: \mu \le 70; \quad H_1: \mu \gt 70}$$

Para resolver los siguientes apartados, necesitamos saber cómo se comporta la media de las muestras ($\bar{X}$). Sabemos que si la población es normal $N(\mu, \sigma)$, la distribución de las medias muestrales de tamaño $n$ sigue una distribución: $$\bar{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$$ En nuestro caso: - $\sigma = 8.9$ - $n = 100$ - Bajo la suposición de que $\mu = 70$ (límite de la hipótesis nula): $$\bar{X} \sim N\left(70, \frac{8.9}{\sqrt{100}}\right) = N(70, 0.89)$$

**b) (1 punto) Determine la región crítica a un nivel de significación del 5%.** El nivel de significación es $\alpha = 0.05$. Como nuestro contraste es unilateral hacia la derecha ($H_1: \mu \gt 70$), buscamos un valor crítico $z_\alpha$ en la distribución Normal estándar $Z \sim N(0,1)$ tal que: $$P(Z \gt z_\alpha) = 0.05 \implies P(Z \le z_\alpha) = 0.95$$ Buscando en las tablas de la distribución normal el valor más cercano a $0.95$ (o interpolando entre $1.64$ y $1.65$): $$z_\alpha = 1.645$$ 💡 **Tip:** Si no tienes mucha precisión en la tabla, el valor $1.64$ o $1.65$ suele aceptarse, pero $1.645$ es el estándar para el $95\%$ de confianza en una cola.

La región crítica ($RC$) está formada por los valores de la media muestral $\bar{x}$ que están tan alejados de $\mu = 70$ (hacia la derecha) que nos llevan a rechazar $H_0$. Calculamos el valor límite $\bar{x}_c$ usando la fórmula: $$\bar{x}_c = \mu_0 + z_\alpha \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$ $$\bar{x}_c = 70 + 1.645 \cdot 0.89$$ $$\bar{x}_c = 70 + 1.46405 = 71.46405$$ Por tanto, la región crítica es el intervalo: $$RC = (71.464, +\infty)$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Región Crítica: } (71.464, +\infty)}$$

**c) (1 punto) Con los datos muestrales, ¿existe evidencia estadística para rechazar la hipótesis a ese nivel de significación?** Para tomar la decisión, comparamos el valor de la media obtenida en la muestra con la región crítica. Datos de la muestra: - $\bar{x} = 71.8$ Observamos que: $$71.8 \gt 71.464$$ Como el valor de la muestra **pertenece a la región crítica** ($71.8 \in RC$), debemos rechazar la hipótesis nula $H_0$. Esto significa que, con un nivel de significación del $5\%$, existe evidencia estadística suficiente para afirmar que la vida media de los individuos de ese país es superior a los 70 años. 💡 **Tip:** Siempre que el estadístico muestral caiga dentro de la zona de rechazo (región crítica), la conclusión es "Rechazar $H_0$". ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Sí, existe evidencia para rechazar } H_0}$$