Operaciones con matrices y ecuaciones matriciales

**a) (1.25 puntos) Efectúe, si es posible, los siguientes productos: $A \cdot A^t$; $A^t \cdot A$; $A \cdot B$** Primero, obtenemos la matriz traspuesta de $A$, denotada por $A^t$, intercambiando sus filas por columnas: $$A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \implies A^t = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$ Ahora multiplicamos $A$ ($2 \times 3$) por $A^t$ ($3 \times 2$). El resultado será una matriz $2 \times 2$: $$A \cdot A^t = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (0\cdot 0 + 1\cdot 1 + 0\cdot 0) & (0\cdot 1 + 1\cdot 0 + 0\cdot 1) \\ (1\cdot 0 + 0\cdot 1 + 1\cdot 0) & (1\cdot 1 + 0\cdot 0 + 1\cdot 1) \end{pmatrix}$$ $$A \cdot A^t = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que en el producto de matrices multiplicamos los elementos de la fila de la primera matriz por los de la columna de la segunda y sumamos los resultados. ✅ **Resultado:** $$\boxed{A \cdot A^t = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}}$$

Multiplicamos ahora $A^t$ ($3 \times 2$) por $A$ ($2 \times 3$). El resultado será una matriz de dimensiones $3 \times 3$: $$A^t \cdot A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ Realizamos las operaciones elemento a elemento: $$A^t \cdot A = \begin{pmatrix} 0\cdot 0 + 1\cdot 1 & 0\cdot 1 + 1\cdot 0 & 0\cdot 0 + 1\cdot 1 \\ 1\cdot 0 + 0\cdot 1 & 1\cdot 1 + 0\cdot 0 & 1\cdot 0 + 0\cdot 1 \\ 0\cdot 0 + 1\cdot 1 & 0\cdot 1 + 1\cdot 0 & 0\cdot 0 + 1\cdot 1 \end{pmatrix}$$ $$A^t \cdot A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{A^t \cdot A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}}$$

Para multiplicar dos matrices, el número de columnas de la primera debe ser igual al número de filas de la segunda. - Dimensión de $A$: $2 \times 3$ (tiene 3 columnas). - Dimensión de $B$: $2 \times 2$ (tiene 2 filas). Como $3 \neq 2$, el producto $A \cdot B$ **no es posible**. 💡 **Tip:** Siempre comprueba las dimensiones antes de empezar a operar: $(m \times n) \cdot (n \times p) = (m \times p)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{El producto } A \cdot B \text{ no es posible.}}$$

**b) (1.25 puntos) Resuelva la siguiente ecuación matricial $A \cdot A^t \cdot X = B$** Llamemos $M = A \cdot A^t$. Según el apartado anterior: $$M = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$$ La ecuación queda como $M \cdot X = B$. Para despejar $X$, si $M$ tiene inversa, multiplicamos por $M^{-1}$ por la izquierda: $$M^{-1} \cdot M \cdot X = M^{-1} \cdot B \implies X = M^{-1} \cdot B$$ Primero comprobamos si existe $M^{-1}$ calculando su determinante: $$\det(M) = \begin{vbar} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{vbar} = (1\cdot 2) - (0\cdot 0) = 2$$ Como $\det(M) \neq 0$, la matriz $M$ es invertible.

Para hallar $M^{-1}$, usamos la fórmula $M^{-1} = \frac{1}{\det(M)} \cdot \text{Adj}(M^t)$. 1. Como $M = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ es simétrica, $M^t = M$. 2. Matriz de adjuntos: - Adjunto (1,1): $+2$ - Adjunto (1,2): $-(0) = 0$ - Adjunto (2,1): $-(0) = 0$ - Adjunto (2,2): $+1$ $$\text{Adj}(M) = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$ 3. Inversa: $$M^{-1} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1/2 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** En una matriz diagonal como esta, la inversa se obtiene simplemente tomando el recíproco de los elementos de la diagonal principal: $1 \to 1/1$ y $2 \to 1/2$.

Finalmente, calculamos $X = M^{-1} \cdot B$: $$X = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1/2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$$ $$X = \begin{pmatrix} 1\cdot 3 + 0\cdot 1 & 1\cdot (-1) + 0\cdot 2 \\ 0\cdot 3 + \frac{1}{2}\cdot 1 & 0\cdot (-1) + \frac{1}{2}\cdot 2 \end{pmatrix}$$ $$X = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 1/2 & 1 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 0.5 & 1 \end{pmatrix}}$$