Continuidad, derivabilidad y asíntotas de una función a trozos

**a) (1.5 puntos) Halle el valor de a para que dicha función sea continua y estudie la derivabilidad de $f$ para ese valor de a.** Para que la función sea continua en todo su dominio, debe serlo especialmente en el punto de salto $x = 2$. Para ello, deben coincidir los límites laterales y el valor de la función en ese punto: 1. **Límite por la izquierda y valor en el punto ($x \le 2$):** $$\lim_{x \to 2^-} f(x) = f(2) = 2^2 - 3(2) + 4 = 4 - 6 + 4 = 2$$ 2. **Límite por la derecha ($x \gt 2$):** $$\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} \left( 4 - \frac{a}{x} \right) = 4 - \frac{a}{2}$$ Para que sea continua: $2 = 4 - \dfrac{a}{2}$. 💡 **Tip:** Una función es continua en $x=c$ si $\lim_{x\to c^-}f(x) = \lim_{x\to c^+}f(x) = f(c)$.

Resolvemos la ecuación anterior para hallar el valor de $a$: $$2 = 4 - \frac{a}{2}$$ Despejamos el término con $a$: $$\frac{a}{2} = 4 - 2 \implies \frac{a}{2} = 2$$ $$a = 4$$ Con $a = 4$, la función es continua en $x = 2$. Además, para $x \neq 2$, las ramas son un polinomio y una función racional (cuyo denominador se anula en $x=0$, pero $0 \le 2$ está en la primera rama), por lo que la función es continua en todo $\mathbb{R}$. ✅ **Resultado (valor de a):** $$\boxed{a = 4}$$

Para $a = 4$, la función queda: $$f(x) = \begin{cases} x^2 - 3x + 4 & \text{si } x \le 2 \\ 4 - \frac{4}{x} & \text{si } x \gt 2 \end{cases}$$ Calculamos la derivada de cada rama para $x \neq 2$: - Si $x \lt 2$: $f'(x) = 2x - 3$ - Si $x \gt 2$: $f'(x) = \left( 4 - 4x^{-1} \right)' = 0 - 4(-1)x^{-2} = \frac{4}{x^2}$ Por tanto, la función derivada (pendiente de la recta tangente) es: $$f'(x) = \begin{cases} 2x - 3 & \text{si } x \lt 2 \\ \frac{4}{x^2} & \text{si } x \gt 2 \end{cases}$$ Comprobamos las derivadas laterales en $x = 2$: - Derivada por la izquierda: $f'(2^-) = 2(2) - 3 = 4 - 3 = 1$ - Derivada por la derecha: $f'(2^+) = \frac{4}{2^2} = \frac{4}{4} = 1$ Como $f'(2^-) = f'(2^+)$, la función **es derivable en $x = 2$**. 💡 **Tip:** Para que una función sea derivable en un punto, primero debe ser continua en dicho punto y sus derivadas laterales deben ser iguales. ✅ **Resultado (derivabilidad):** $$\boxed{\text{La función es derivable en todo } \mathbb{R} \text{ para } a = 4}$$

**b) (1 punto) Para $a = 1$, ¿existe alguna asíntota vertical de esa función? ¿Y horizontal? Razone las respuestas y calcule, en caso afirmativo, dichas asíntotas.** Para $a = 1$, la función es: $$f(x) = \begin{cases} x^2 - 3x + 4 & \text{si } x \le 2 \\ 4 - \frac{1}{x} & \text{si } x \gt 2 \end{cases}$$ **Asíntotas Verticales (AV):** - En la primera rama ($x \le 2$), es un polinomio, no hay AV. - En la segunda rama ($x \gt 2$), la función es $4 - \frac{1}{x}$. El denominador se anula en $x = 0$. Sin embargo, el valor $x = 0$ no pertenece al dominio de definición de esta rama ($x \gt 2$). - En el punto de salto $x = 2$, los límites son finitos ($f(2^-)=2$ y $f(2^+)=3.5$), por lo que no hay AV. ✅ **Resultado (AV):** $$\boxed{\text{No existen asíntotas verticales}}$$

**Asíntotas Horizontales (AH):** 1. **Cuando $x \to -\infty$ (rama izquierda):** $$\lim_{x \to -\infty} (x^2 - 3x + 4) = +\infty$$ No hay asíntota horizontal por la izquierda. 2. **Cuando $x \to +\infty$ (rama derecha):** $$\lim_{x \to +\infty} \left( 4 - \frac{1}{x} \right) = 4 - 0 = 4$$ Existe una asíntota horizontal por la derecha en **$y = 4$**. 💡 **Tip:** Una asíntota horizontal existe si el límite de la función cuando $x$ tiende a infinito es un número real finito $L$. La ecuación es $y = L$. ✅ **Resultado (AH):** $$\boxed{y = 4 \text{ (sólo cuando } x \to +\infty)}$$

A continuación se muestra la representación gráfica de la función para $a=1$ donde se aprecia la asíntota horizontal calculada.