Probabilidad: Unión, Condicionada, Independencia e Incompatibilidad

**a) (1.5 puntos) Calcule las siguientes probabilidades: $P(A \cup B)$, $P(A / B)$ y $P(B / A^C)$.** Primero, organizamos los datos proporcionados en el enunciado: - $P(A) = 0.4$ - $P(B) = 0.5$ - $P(A \cap B) = 0.2$ Para facilitar el cálculo de cualquier probabilidad, podemos construir una **tabla de contingencia** completando los valores de los sucesos contrarios ($A^c$ y $B^c$) y sus intersecciones: $$\begin{array}{c|cc|c} & A & A^c & \text{Total} \\ \hline B & 0.2 & 0.3 & 0.5 \\ B^c & 0.2 & 0.3 & 0.5 \\ \hline \text{Total} & 0.4 & 0.6 & 1.0 \end{array}$$ 💡 **Tip:** Para completar la tabla, recuerda que las sumas de las filas y columnas deben coincidir con los totales. Por ejemplo, $P(A \cap B) + P(A^c \cap B) = P(B)$, por lo que $0.2 + 0.3 = 0.5$.

Para calcular $P(A \cup B)$, utilizamos la fórmula de la probabilidad de la unión de dos sucesos: $$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$ Sustituimos los valores conocidos: $$P(A \cup B) = 0.4 + 0.5 - 0.2 = 0.7$$ 💡 **Tip:** La probabilidad de la unión representa la probabilidad de que ocurra al menos uno de los dos sucesos. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(A \cup B) = 0.7}$$

La probabilidad de $A$ condicionada a $B$ se define como la probabilidad de que ocurra $A$ sabiendo que ya ha ocurrido $B$: $$P(A / B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$$ Sustituimos los valores: $$P(A / B) = \frac{0.2}{0.5} = 0.4$$ 💡 **Tip:** Recuerda que en la probabilidad condicionada $P(X/Y)$, el suceso que ya ha ocurrido ($Y$) siempre va en el denominador. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(A / B) = 0.4}$$

Para calcular $P(B / A^c)$, aplicamos la definición de probabilidad condicionada sobre el suceso contrario de $A$: $$P(B / A^c) = \frac{P(B \cap A^c)}{P(A^c)}$$ Calculamos primero los componentes necesarios: - $P(A^c) = 1 - P(A) = 1 - 0.4 = 0.6$ - $P(B \cap A^c) = P(B) - P(A \cap B) = 0.5 - 0.2 = 0.3$ (dato que también podemos ver en nuestra tabla de contingencia). Ahora calculamos el cociente: $$P(B / A^c) = \frac{0.3}{0.6} = 0.5$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(B / A^c) = 0.5}$$

**b) (0.5 puntos) Razone si A y B son sucesos incompatibles.** Dos sucesos son **incompatibles** si no pueden ocurrir al mismo tiempo, es decir, si su intersección es vacía y su probabilidad es cero ($P(A \cap B) = 0$). En este ejercicio, el enunciado nos indica directamente que: $$P(A \cap B) = 0.2$$ Como $0.2 \neq 0$, los sucesos pueden ocurrir simultáneamente. 💡 **Tip:** Si dos sucesos son incompatibles, no pueden ser independientes (salvo que uno tenga probabilidad 0), ya que la ocurrencia de uno impide totalmente la del otro. ✅ **Conclusión:** $$\boxed{\text{A y B NO son incompatibles porque } P(A \cap B) \neq 0}$$

**c) (0.5 puntos) Razone si A y B son independientes.** Dos sucesos son **independientes** si la ocurrencia de uno no afecta a la probabilidad del otro. Matemáticamente, esto se cumple si: $$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$$ Calculamos el producto de las probabilidades individuales: $$P(A) \cdot P(B) = 0.4 \cdot 0.5 = 0.20$$ Comparamos este resultado con la probabilidad de la intersección dada: $$P(A \cap B) = 0.2$$ Como $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$, se cumple la condición de independencia. 💡 **Tip:** Otra forma de comprobarlo es ver si $P(A/B) = P(A)$. En nuestro caso, $0.4 = 0.4$, lo cual confirma la independencia. ✅ **Conclusión:** $$\boxed{\text{A y B SÍ son independientes porque } P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)}$$