Distribución de la media muestral y cálculo de probabilidades

**a) (1 punto) ¿Cuál es la distribución de la media muestral?** Primero, identificamos los datos que nos proporciona el enunciado para la variable aleatoria $X$, que representa a la población: - Media poblacional: $\mu = 50$ - Desviación típica poblacional: $\sigma = 4$ - Tamaño de la muestra: $n = 16$ Como la población original sigue una distribución normal $X \sim N(\mu, \sigma)$, sabemos por la teoría del muestreo que la media de las muestras de tamaño $n$ también seguirá una distribución normal. 💡 **Tip:** Recuerda que si una población es $N(\mu, \sigma)$, la distribución de las medias muestrales $\bar{X}$ es siempre $N\left(\mu, \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$.

Calculamos la desviación típica de la media muestral (también llamada error típico): $$\sigma_{\bar{X}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{4}{\sqrt{16}} = \frac{4}{4} = 1.$$ Por tanto, la media muestral $\bar{X}$ sigue una distribución normal con la misma media que la población y desviación típica $1$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\bar{X} \sim N(50, 1)}$$

**b) (1.5 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral esté comprendida entre 47.5 y 52.5?** Se nos pide calcular $P(47.5 \le \bar{X} \le 52.5)$. Para resolverlo, debemos **tipificar** la variable para pasar de nuestra $\bar{X} \sim N(50, 1)$ a una normal estándar $Z \sim N(0, 1)$. La fórmula de tipificación es: $$Z = \frac{\bar{X} - \mu}{\sigma_{\bar{X}}}$$ Aplicamos el cambio a los límites del intervalo: $$P(47.5 \le \bar{X} \le 52.5) = P\left(\frac{47.5 - 50}{1} \le Z \le \frac{52.5 - 50}{1}\right)$$ $$P(-2.5 \le Z \le 2.5)$$ 💡 **Tip:** Tipificar nos permite usar las tablas de la normal estándar que siempre se proporcionan en los exámenes.

Para calcular la probabilidad en un intervalo, usamos la propiedad $P(a \le Z \le b) = P(Z \le b) - P(Z \le a)$: $$P(-2.5 \le Z \le 2.5) = P(Z \le 2.5) - P(Z \le -2.5)$$ Debido a la simetría de la campana de Gauss, sabemos que $P(Z \le -2.5) = 1 - P(Z \le 2.5)$. Sustituimos: $$P(Z \le 2.5) - [1 - P(Z \le 2.5)] = 2 \cdot P(Z \le 2.5) - 1$$ Buscamos el valor para $2.5$ en la tabla de la normal $N(0, 1)$: $$P(Z \le 2.5) = 0.9938$$ Visualmente, la probabilidad que estamos calculando corresponde al área sombreada:

Realizamos la operación final: $$2 \cdot 0.9938 - 1 = 1.9876 - 1 = 0.9876$$ La probabilidad de que la media de la muestra esté en el intervalo indicado es del **$98.76\%$**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(47.5 \le \bar{X} \le 52.5) = 0.9876}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que las probabilidades siempre deben dar un valor entre $0$ y $1$. Si obtienes algo fuera de ese rango, revisa los pasos de la resta o la simetría.